多元函数最值问题的解法_周伯明.pdf

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1、技法文筑周伯明张仁端函数最值问题是高考考查的热点，而有关多元2姨x·姨y+xS＝.令t＝2姨x·姨y+x，则t>0，∴S＝函数的最值问题往往给人形式复杂、难以捉摸的感y+x觉，令许多考生头痛不已，本文试通过几道例题总t4xt4x4x＝＝≤＝2222结解多元函数最值题的方法.（t-x）+xt-2xt+5xt+5x-2x2姨5x-2x4xt例1若不等式x+2姨xy≤a（x+y）对任意的姨5+1，当且仅当t＝姨5x时等号成立.实数x>0，y>0恒成立，则实数a的最小值为.2分析∵x>0，y>0，∴a≥x+2姨xy

2、恒成立.∴a≥∴S＝姨5+1.∴a≥姨5+1，即实数a的最x+ymax22x+2姨xy（）max.姨5+1x+y小值为.2令S＝x+2姨xy，则要求出实数a的最小值，关小结解法1通过整体换元将二元函数转化x+y为一元函数；解法2通过改变视角，直接将二元函x+2姨xy键是求出二元函数S＝的最大值.数视为一元函数.x+y22例2设实数x，y，z满足x+2y-3z＝7，求x+y+y1+22x+2姨xy姨xz的最小值.解（解法1）∵S＝＝，令x+yy1+解（解法1）∵x+2y-3z＝7，∴x＝7-2y+3z.令u＝

3、x2222222x+y+z=（7-2y+3z）+y+z，视y为主元整理得5y-yt4tt＝1+2，则t>0，∴S＝＝＝（12z+28）y+（10z22姨xt-1t2-2t+5+42z+49-u）=0.∴Δ1=（12z+28）-20·21+（）2（10z2+42z+49-u）≥0，即14z2+42z+49-5u≤0.∵z存44姨5+127222≤＝，当且仅当t＝姨5在，∴Δ2=42-56（49-5u）≥0，解得u≥.∴x+y+zt+5-22姨5-222t7的最小值为.时等号成立.2姨5+1姨5+1（解法2）考

4、虑三元一次方程的几何意义，x+2y-∴Smax＝.∴a≥，即实数a的最22x2y3z3z＝7，即+-＝1，表示空间直角坐标系O—xyz777姨5+1小值为.2222中的平面ABC.x+y+z表示空间直角坐标系O—xyz（解法2）将y看作主元，将x看作参数，则有中的原点（0，0，0）和平面ABC内的点（x，y，z）之间坐下来，钻进去，立大志，成大事。24———湖南炎陵县一中罗卫平技法222222y的距离的平方.所以，x+y+z的最小值即为原点到平有X+Y=2X+2Y，即（X-1）+（Y-面ABC的距离的平方.

5、1）2＝2.4如右图所示，所求即为三z由线性规划的知识可知，2<27B（0，，0）棱锥O—ABC的底面ABC上O2S≤4.HyO2x的高OH的平方，由体积法易小结结合目标函数特征，7C（0，0，-）得结果为7.xA（7，0，0）3将原问题化归为线性规划问题求解.2例5已知变量x，y，z∈R，且x+y+z＝1，x2+y2+（解法3）根据柯西不等式（x2+y2+z2）[12+22+（-3）2]≥2z＝3，则xyz的最大值是.22222[1·x+2·y+（-3）·z]，即14（x+y+z）≥（x+2y-3z）＝解

6、由两个方程和三个未知量，可知其中任意2227两个未知量之间的关系，观察x+y和x2+y2，考虑49，所以x+y+z≥，当且仅当x＝k，y＝2k，z＝-3k，2整体消元.122271即k＝时等号成立.∴（x+y+z）min=，此时x＝，x+y＝1-z，222由，可得2xy＝2z2-2z-2，即xy＝z2-z-1.222x+y＝3-z，3y＝1，z＝-.322所以xyz＝z-z-z.将x，y看作主元，视z为参数，则222小结解法1消去x后先将y视为主元，利用x+y＝1-z表示直线，x+y＝3-z表示圆.要同时满

7、足两判别式法求解.解法2找到x+2y-3z＝7和x2+y2+z2的式，即直线与圆要有公共点，则

8、z-1

9、2≤姨3-z，解姨2几何意义，另辟蹊径.解法3中柯西不等式为多元函553数求最值提供了有力的保障，而且能让我们清楚看得-1≤z≤.原问题转化为当-1≤z≤时，S＝z-33到取得最值的条件，恰好弥补了前两种解法的不足.2z-z的最大值问题.2例3已知变量a，θ∈R，则（a-2cosθ）+（a-55由导数知识容易解得Smax＝，即（xyz）max＝.5姨2-2sinθ）2的最小值为.272722小结将x，y看

10、作主元，将三元函数转化后，再解令y=（a-2cosθ）+（a-5姨2-2sinθ）＝运用几何意义求解.a2a-5姨224[（-cosθ）+（-sinθ）].由以上几例，可知解多元函数最值（值域）题可22以从数与形两方面入手.从数的角度，是将多元函数a2a-5姨22令d=（-cosθ）+（-sinθ），则化归为一元函数，或者直接利用柯西不等式求解.姨22从形的角度，常利用已知条件以及目标式的几何2aa-5姨2y=4