“最值”问题的认识与解决策略

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1、“最值”问题的认识与解决策略　摘要：本文对代数中最值的求法与几何中最值的求法进入深入探究。充分展示最值的丰富内涵。通过探究一般规律，给出解决问题的基本方法。提高对最值问题有深入的理解，同时在学生及同行中营造良好的探究氛围。关键词：最值，二次函数，基本不等式，判别式，构造图形。数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值。在生产实践中，我们经常带有“最”字问题，如投入多少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等。我们把这类问题称为“最值”问题。最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解决灵活。下面对最值问题进行一些探索，并提出具体的解决方法，供大家学习参考。(一)

2、代数中的最值问题1．利用一次函数y=kx+b(m≤x≤n)的图像是一条线段，根据函数的性质求最大(小)值例1已知一次函数y=3x+1(1≤x≤2)，求最大值与最小值。解：如图，当x=1时，ymin=4，当x=2时，ymax=7。∴一次函数的最大值是7，最小值是4。2．利用配方法求最值对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)=a+(1)若a>0当x=时ymin=(2)若a<0当x=时ymax=(3)若x有范围限制且不能取时，则最值应结合图像分析求得。例2实数x、y满足2x2-6x+y2=0，则x2+y2+2x的最大值为_______解：由题意得y2=6x-2x2≥0∴0≤x≤3原式=x2+

3、(-2x2+6x)+2x=-(x-4)2+16∵0≤x≤3∴原式最大值=153．运用不等式或不等分析求最值∵()2≥0(a≥0,b≥0)∴a-2+b≥0a+b≥2上述不等式的等号当且仅当a=b时成立。例3正实数x、y满足xy=1，那么的最小值为________解：≥2∵xy=1∴()min=11．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)若方程有解△=b2-4ac≥0若a、b、c中只有一个字母，则求出该字母的范围。例4已知x、y、z为实数，且x+y+z=5,xy+yz+zx=3。试求出z的最大值与最小值。解：由题意得∵x+y=5-z，xy=3-

4、z(x+y)=3-z(5-z)=z2-5z+3∴x、y是关于t的方程t2-(5-z)t+z2-5z+3=0的两实根△=(5-z)2-4(z2-5z+3)≥0即：3z2-10z-13≤0∴-1≤z≤故z的最大值为，最小值为-1。2．构造图形求最值用图形求最值，在竞赛数学中有广泛的应用，往往有事半功倍的效率。例5已知a、b均为正实数，且a+b=6，求的最小值。[分析]本题由题设中数量特征，联想到有关几何图形的性质(勾股定理)，并构造符合条件的图形，通过对图形的研究，使问题获得解决，这是数形结合的解题方法，是重要的数学思想方法。解：设AB=2，CD=3，BC=a+b=6且AB⊥BC，CD⊥BC，

5、连AD交BC于E则BE=a，CE=b，再过D作AB的垂线交AB的延长线于F。由勾股定理：AE=，DE=∴AD=AE+DE=由矩形BCDF知：BF=CD=3，DF=BC=6，而AF=AB+BF=5∴AD=即()min=演变已知a、b是正实数，且b-a=2，求-的最大值。解：在Rt△ABC中，∠B=900，DE⊥AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，令AB=b，AD=a，DE=2，BC=3，则EF=BD=b-a=2CF=BC-DE=3-2=1，而AE=，AC=，CE==∴(-)max=。(一)几何中的最值问题1.应用几何中的不等量性质、定理解几何最值问题常用以下几何不等量性质：①两点间线段最短

6、②点直线上各点的连线中，垂线段最短③定圆中直径最长④“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”中的有关定理等以上不等量的性质学与轴对称变换、平移变换、旋转变换结合，化曲为直，使分散的条件加以集中，为性质运用创造条件。例6A点是半圆上一个三等分点，B是的中点，P点是直径MN上一个动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为________。解：作B关于MN的对称点B’，连结AB’交MN于P，连结AP、BP、OB’∵A为半圆3等分点∴∠AON=600，又∵B是中点∴∠BON=300，∴∠NOB’=300∴∠AOB’=900∵OA=OB’=1∴AB’=∴AP+BP=1.着眼于揭示问题中变动元

7、素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。①具体方法：构造二次方程，利用二次方程必定有解的代数模型，利用判别式求几何最值；②构造二次函数求几何最值。例7已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1，为了合理利用这块钢板，将正方形EABCD内截取一个矩形MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。解：延长NP交EF于Q，设DN=x，PN=y，则s=xy，由△APQ∽△ABF得，即x=1