三角函数最值问题的解决策略

《三角函数最值问题的解决策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、三角函数最值问题的几种常见类型三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点Z-；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决(比如参数方程)。题1=1给出的三角关系式往往比较复朵，进行化简后，再进行归纳，主要有以下儿种类型。掌握这儿种类型后，儿乎所冇的三角函数最值问题都可以解决。1•y=asinx+bcosx型的函数特点是含有止余弦函数,并口是一次式。解决此类问题的指导思想是把止、余弦函数转化为只有一种三和函数。应用课木中现成

2、的公式即可：市sin(x+d)),其I」tan^=-a例1已知函数X^)=2cosxsin(x+—)—V3sin'x+sinxcosx(1)求函数沧)的最小止周期；(2)求/(x)的最小值及取得最小值时相应的X的值；(3)若当代［―,—］时，沧)的反函数为厂⑴，求厂】⑴的值.1212解：(1)/(x)=2cosxsin(x+—)—73sin2x+sirLrcosx=2cosx(siarcos—+cosxsin—)—V3sinL+sirtrcosx33=2sinxcosx+晶cos2v=2sin(lv+—)3・7/W的最小正周期T=耳⑵当2x+彳=2R刀一彳，即x=kJr-^

3、仗EZ)时，/U)取得最小值一2.⑶令2sin(2x+—)=1,又xW[,32271X-—42.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数。特点是含有sinx,cosx的二次式，处理方式是降幕，再化为型1的形式來解。例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。解：y=sin~x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=l+sin2x+l+cos2x=2+V2sin(2x4-—)4当sin(2x+—)=1时，y取最小值2,2,此时x的集金{xlx二kn兀，kGZ}

4、.483•y=asin2x+bcosx+c型的函数特点是含有sinx,cosx,并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=l,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数來求解。例3是否存在实数°,使得函数y=siiA+«-cosx+-«--在闭区间［0,仝］上的最大值822是1?若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理山.h-n12工3/22)1•妙F:y=1—cosx+acosxH—ci—=—(cosx—)H1—a—.•822482jr当眩XW—,0

5、)=^>^=—<2(舍去)，若QI鸭当时0a=-或命去4<0().若弓如Fhfe<0,COSX=0,『max=一㊁二二—〉(舍去)3综合上述知，存在符合题设2asinx+c殆［砧弋好4.y=型的函数bcos兀+d特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。儿乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种。例4・求函数y=inx的最大值和最小值。2一cosx一2-2v解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,即sin（x+（1））=.,Ji+b2-2v••Tsin（x+e）IWl,•

6、••/丿Wl,解出y的范围即可。__s]解法2：农示的是过点（2,2）与点（cosx,sinx）的斜率，而点（cosx,sinx）是单位圆2-cosxI:的点，观察图形可以得出在立线与圆相切时取极值。C补2c十丄°解法3：应川万能公式设t=tg（-）则丫=—；,即（2-3y）t2-2t+2-y=023广+1根据A$0解出y的最值即可。5・y=sinxcos2x型的函数。它的特点是关于sinx,cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因为高屮数学不涉及三次函数的故值问题，故几乎所有的三次式的故值问题（不只是在三角）都用均值不等式来解（没有其它的方法）。但需要注意是否

7、符合应用的条件（既然题目让你求，多半是符合使用条件的，但做题不能少这一步），及等号是否能取得。例6如右图，在半径为R的圆桌的止中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌血的夹角〃的正弦成正比，角和这一点到光源的距离广的平方成反比，即上k■啤,其中R是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬r挂的高度力，才能使桌子边缘处最亮？解：7?=rcos0,由此得：丄=^,0<6<-,rR2邺*冲旦=4⑶佰曲。）r2R2R22厂=（*）2・2“1!钿・（1—sin'BXl—血20）<（+）2・（彳