初中数学论文：“最值”问题的认识与解决策略

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1、⑴若a>0当x»舟时^ac-b2畑二飞厂⑵若avO当x=-—时2a、_4ac-h2Ymax="4a⑶若X冇范围限制且不能取总时，则最值应结合图像分析求得。例2实数X、y满足2x2-6x+y2=0,解：由题意得y2=6x-2x2^0・・・0WxW3原式=x2+(-2x2+6x)+2x=-(x-4)2+16•・・0WxW3•I原式放犬值=15运用不等式或不等分析求最值•・•(石—亦)220(a上0,b上0)则x2+y2+2x的最大值为“最值”问题的认识与解决策略摘要：木文对代数屮最值的求法与几何屮最值的求法进入深入探究。

2、充分展示最值的丰富内涵。通过探究一般规律，给出解决问题的基本方法。提高对最值问题有深入的理解，同时在学生及同行中营造良好的探究氛围。关键词：最值，二次函数，基本不等式，判别式，构造图形。数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值。在生产实践屮，我们经常带有“最”字问题，如投入多少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等。我们把这类问题称为“最值”问题。最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解决灵活。下面对最值问题进行一些探索，并捉出具体的解决方法，供大家淫习参考。(一)代数中的最值问题

3、1.利用一次函数y=kx+b(mWxWn)的图像是一条线段，根据函数的性质求最大(小)值例1已知一次函数y=3x+l(lWxW2),求最大值与最小值。解：如图，当x=1时，ymin=4,当x=2时,ymax=7。・•・一次函数的最大值是7,最小值是4。2.利用配方法求最值对于二次函数y=ax2+bx+c(a#O)2a4aa+b22上述不等式的等号当且仅当a=b时成立。例3正实数x、y满足xy=l,那么4+的最小值为x4yTxy=lDE*®A4.建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值对于方程ax2+bx+c

4、=O(aHO)若方程有解△二b2・4ac20若a、b、c中只冇一个字母，则求岀该字母的范围。例4已知x、y、z为实数，口x+y+z=5,xy+yz+zx=3。试求出z的最大值与最小值。解：由题意得x+y=5-z,xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z-5z+3.•.X、y是关于t的方程t2-(5-z)t+z2-5z+3=O的两实根△=(5-z)2-4(z2-5z+3)^0HP：3z2-1Oz-13^O3故z的最大值为旦,最小值为・1。35.构造图形求最值用图形求最值，在竞赛数学中冇广泛的应用，往往冇事半功倍的效

5、率。例5已知a、b均为正实数，且a+b=6,求Jo?+4+J/异+9的最小值。［分析］本题由题设中数量特征，联想到有关儿何图形的性质(勾股定理)，并构造符合条件的图形，通过对图形的研究，使问题获得解决，这是数形结合的解题方法，是重要的数学思想方法。解：设AB=2,CD=3,BC=a+b=6月.AB丄BC,CD丄BC,连AD交BC于E贝ijBE=a,CE=b,再过D作AB的垂线交AB的延长线于F。由勾股定理：AE=J/+4,・•・AD=AE+DE=J/+4+J胪+9由矩形BCDF知：BF=CD=3,DF=BC=6,而A

6、F二AB+BF=5・•・AD=^AF2+DF2=a/62+52=V61即(J/+4+加+9)min=V6T演变已知a、b是止实数，且b-a=2,求'7&2+9-Va2+4的最大值。解：在RtAABC中，ZB-9O0,DE±ABD于D,交AC于E,EF丄BC于F,令AB=b,AD=a,DE=2,BC=3,则EF=BD=b-a=2i\CF=BC-DE=3-2=1,而AE二J/+4,AC=7/?2+9,CE=a/£F2+CF2=V5・•・(如+9・J/+4)max=V5。（二）几何屮的最值问题1.应用几何中的不等量性质、

7、定理解几何最值问题常用以下几何不等量性质：①两点间线段最短②点直线上各点的连线中，垂线段最短③定圆屮直径最长④“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”中的冇关定理等以上不等量的性质学与轴对称变换、平移变换、旋转变换结合，化曲为直，使分散的条件加以集屮，为性质运用创造条件。例6A点是半圆上一个三等分点，B是鬲的小点，P点是直径MN上一个动点，若（DO的半径为1,贝ijPA+PB的最小值为。解：作B关于MN的对称点B',连结AB'交MN于P,连结AP、BP、0B，TA为半圆3等分点・•・ZAON二60°,乂・・・B是

8、乔中点・・・ZB0N=30°,AZN0B,=30°AZA0B,二90°TOA二OB'=1・・・AB'=V2AAP+BP=V21.着眼于揭示问题屮变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。①具体方法：构造二次方程，利用二次方程必定有解的代数模型，利用判别式求几何最值；②构造二次函数求几何最值。例7已知边长为4的正方形钢板，冇一个角锈蚀，其