2021版高三数学解题万能解题模板30 证明不等式的常见技巧【解析版】.docx

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1、专题30证明不等式的常见技巧【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.方法一比较法万能模板内容使用场景一般不等式证明解题模板第一步通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系；第二步得出结论.例1设实数满足，求证：．【答案】详见解析.【解析】第一步，通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系：第二

2、步，得出结论：考点：不等式的证明.【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法.45/45【变式演练1】【2020年全国普通高等学校统一招生考试试验检测卷】设不等式的解集为且，．（1）证明：；（2）比较与的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先将变成分段函数形式，即可求得集合M，则可得的范围，利用绝对值的三角不等式，即可进行证明；（2）将两式分别平方，利用作差法比较大小即可.【详解】（1）证明：∵，不等式等价为，解得，从而，∵，，∴且，∴．（2）∵，，45/45∴，由（1）知

3、，，即且，∴，即，故．方法二分析法万能模板内容使用场景一般不等式证明解题模板第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.例2设证明：。【答案】原命题等价于，利用分析法。【解析】第一步，从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件：第二步，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题：第三步，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立：4

4、5/45【变式演练2】吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文科）七模】设函数．（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当，时，若存在，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：．【答案】（1）或；（2）证明见解析.【分析】（1）就、、分类求解后结合已知的解集可得的值；（2）利用绝对值不等式求得最小值为，解不等式后可得，最后利用综合法和分析法可证.【详解】（1）即为，所以.若，，的解集不可能为，舍.当时，的解为，所以，解得.当时，的解为，45/45所以，解得.综上，或.（2）当，时，，当且仅当时等号成

5、立，故即，故，所以.故.因为，故，所以即.要证：，即证：，即证：，也就是即证：，即证：，也就是即证：，因为恒成立，故必成立，故.综上，.方法三综合法万能模板内容45/45使用场景一般不等式证明解题模板第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；第三步得出结论.例3已知，，求证：[来源:学科网ZXXK]【答案】详见解析.【解析】第一步，从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件：第二步，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式：第三步，得出结论：【

6、点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证.【变式演练3】【四川省巴中市2021届高三零诊考试】已知.（1）若存在使得，求的取值范围；（2）记是（1）中的最大值且，证明.45/45【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出，再解不等式即得解；（2）先证明，再结合基本不等式证明即得证.【详解】（1）由题得，所以，所以.（2）由题得，所以，因为，所以，(当且仅当时取等)所以.所以得证.方法四放缩法万能模板内容使

7、用场景一般不等式证明45/45解题模板第一步根据已知找出其通项公式；第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；第三步利用数列求和公式即可得出结论.例4设求证【答案】详见解析.【解析】第一步，根据已知找出其通项公式：第二步，然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩;第三步,利用数列求和公式即可得出结论:【点评】①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里，其中等的各式及其变式公式均可供选用。【变式演练4】求证：.【

8、答案】见解析.45/45考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练5】设、、是三角形的边长，求证.【答案】见解析.学&科网考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练6】【四川省巴中市2021届高三零诊考试】已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：.45/45【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.