2021版高三数学解题万能解题模板25 数列求和的常见方法【解析版】.docx

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1、专题25数列求和的常见方法【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.方法一公式法万能模板内容使用场景等差，等比以及相关

2、给定公式的数列解题模板第一步结合所求结论，寻找已知与未知的关系；第二步根据已知条件列方程求出未知量；第三步利用前项和公式求和结果例1.设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求．【解析】第一步，结合所求结论，寻找已知与未知的关系；第二步，根据已知条件列方程求出未知量；44/44第三步，利用前项和公式求和结果【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：等差数列前项和公式：  ．等比数列前项和公式：．学科

3、&网自然数方幂和公式：【变式演练1】【四川省名校联盟2020届高考模拟信息卷】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{an－1}的前n项和Tn.44/44【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用求得关于的递推关系式，利用配凑法证得数列为等比数列.（2）先求得数列的通项公式，利用分组求和法求得.【详解】（1）∵2Sn＝－an＋n，当n＝1时，2a1＝－a1＋1，解得.当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，两式相

4、减，得2an＝－an＋an－1＋1，即.∴，又，∴数列为等比数列．（2）由2S1＝－a1＋1，得.由（1）知，数列是以为首项，为公比的等比数列．44/44∴，∴，∴，∴.方法二分组求和法万能模板内容使用场景可分解为几个可以直接求和的数列解题模板第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.例2.已知数列{an}是3＋2－1,6＋22

5、－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项Sn.【解析】第一步，定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步，巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步，分别求和：即分别求出各个数列的和；44/44第四步，组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.【变式演练2】【江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研】已知数列的前项和为，满足，，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）证

6、明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由得的递推式，然后可证数列为等比数列；（2）由（1）求得，得出，用错位相减法求出数列的和.【详解】解：（1）由，由，故，进而：，44/44故数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）知：，故，分别记数列，的前项和为，，则，，相减得：，所以，，故.方法三裂项相消法万能模板内容使用场景通项公式可以裂项为两项之差的形式解题模板第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步消项求和：即把握

7、消项的规律，准确求和.例3.已知数列:,,,…,,…,若，那么数列的前项和为（）A．B．C.D．[来源:学科网ZXXK]44/44【答案】B【解析】第一步，定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步，巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步，消项求和：即把握消项的规律，准确求和.【变式演练3】【广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测】已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【

8、分析】（1）由递推关系可判断为等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出；44/44（2）求出，再利用裂项相消法即可求出.【详解】（1）由题知，，，，，当时，，两式相减可得，即.因为，数列为等比数列，首项为4，公比为4，所以通项公式为.（2），，，.方法四错位相减法万能模板内容使用场景等差数列和等比数列乘积的形式解题模板第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步确定等差、等比数列的通项公