2021版高三数学解题万能解题模板33空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法（解析版）.docx

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1、专题33空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法.在高考中其难度属中档题.方法一几何法万能模板内容使用场景转化的直线或平面比较容易找到解题模板第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例1、【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．（1

2、）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设的中点为，与的交点为，连接，，45/45，根据线面垂直的判定定理，可得平面；再证明，得到平面，推出，，从而可得线面垂直；（2）先由（1）可得，，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：设的中点为，与的交点为，连接，，，如图所示．由为的中点可得，又平面平面，平面平面，故平面．又为的中点．所以且．又且，所以且，因此四边形为平行四边形，所以且，所以

3、平面，故，又四边形为菱形，所以，又，平面，平面，所以平面；45/45（2）由（1）可知，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，设为平面的一个法向量，则即可取，由（1）可知，为平面的一个法向量，所以．所以二面角的余弦值为．例2、【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点.45/45（1）求证：平面平面；（2）若，是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用等腰三角形三线合

4、一、勾股定理可证得，，由线面垂直判定可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得平面，即为所求四棱锥的高，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1），为的中点，，.，，又，，.，平面，平面，平面，平面平面.（2），，又平面平面，平面平面，平面.是面积为的等边三角形，，可得：..【点睛】45/45思路点睛：证明面面垂直或线面垂直的关键是找到线线垂直关系，证明线线垂直的常用方法有：（1）线面垂直的性质定理；（2）等腰三角形三线合一性质；（3）勾股定理证垂直；（4）菱形、正方形等图形中的特殊垂直关系.【变式演练1】【河南省焦作市2020

5、—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由平面平面，得平面，得.再由已知.得，从而可证得线面垂直；（2）由线面角的定义得，设，则，.连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.用空间向量法求得二面角余弦．【详解】（1）因为，，所以.因为平面平面，，平面平面，所以平面，所以.又因为，所以平面.45/45（2）由（1）知平面，所以为与平面所成的角，所以，.由平面，知.设，则，

6、.连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.所以，，设为平面的一个法向量，则,可取.由（1）可知为平面的一个法向量.所以，45/45结合图可知二面角的余弦值为.【变式演练2】【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设与相交于点O，连接，说明和即可证明；（2）连接，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）设与相交于点O，连接，45/45∵四边形为菱形，

7、∴，且O为中点，∵，∴，又，∴平面（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵O为中点，∴，又，∴平面.∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，四边形为菱形，，45/45∴，.∵为等边三角形，∴，，，∵，∴，，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为θ，则.方法二空间向量法万能模板内容使用场景转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例3、【云南师范大学附属中学2020届

8、高三适应性月考】如图，四边形为正方形，平面，，.45/45（1）证