高数之定积分 (4).pdf

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1、§5．1定积分概念§57反常积分一、无穷限的反常积分定义1设函数f(x)在区间[a)上连续取b>a如果极限limbf(x)dxba存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a)上的反常积分记作f(x)dx即af(x)dxlimbf(x)dxaba这时也称反常积分f(x)dx收敛a如果上述极限不存在函数f(x)在无穷区间[a)上的反常积分f(x)dx就没有意义此时a称反常积分f(x)dx发散a类似地设函数f(x)在区间(b]上连续如果极限lim

2、bf(x)dx(a

3、(x)dx0lim0f(x)dxlimbf(x)dxaab0f(x)dx收敛这时也称反常积分1§5．1定积分概念如果上式右端有一个反常积分发散则称反常积分f(x)dx发散定义1连续函数f(x)在区间[a)上的反常积分定义为f(x)dxlimbf(x)dxaba在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地连续函数f(x)在区间(b]上和在区间()上的反常积分定义为bf(x)dxlimbf(x)d

4、xaaf(x)dxlim0f(x)dxlimbf(x)dxaab0反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则f(x)dxlimbf(x)dxlim[F(x)]bababalimF(b)F(a)limF(x)F(a)bx可采用如下简记形式f(x)dx[F(x)]limF(x)F(a)aax类似地bf(x)dx[F(x)]F(b)limF(x)bxf(x)dx[F(x)]limF(

5、x)limF(x)xx例1计算反常积分1dx1x21dx[arctanx]解1x2limarctanxlimarctanxxx()22te例2计算反常积分ptdt(p是常数且p>0)01解teptdt[teptdt][tdept]00p011[tepteptdt]pp011[teptept]pp202§5．1定积分概念1111lim[teptept]pp2p2

6、p2tt1提示limteptlimlim0eptpeptttt例3讨论反常积分1dx(a>0)的敛散性axp解当p1时11dx[lnx]dxaxpaxa当p<1时1dx[1x1p]axp1pa当p>1时1dx[1x1p]a1paxp1pap1因此当p>1时此反常积分收敛其值为a1p当p1时此反常积分发散p1二、无界函数的反常积分定义2设函数f(x)在区间(ab]上连续而在点a的右邻域内无界

7、取>0如果极限limbf(x)dxtat存在则称此极限为函数f(x)在(ab]上的反常积分仍然记作bf(x)dx即abf(x)dxlimbf(x)dxatat这时也称反常积分bf(x)dx收敛a如果上述极限不存在就称反常积分bf(x)dx发散a类似地设函数f(x)在区间[ab)上连续而在点b的左邻域内无界取>0如果极限limtf(x)dxtba存在则称此极限为函数f(x)在[ab)上的反常积分仍然记作bf(x)dx即abf(x)dxlimtf(x)dxat

8、babf(x)dx收敛如果上述极限不存在就称反常积分bf(x)dx发散这时也称反常积分aa设函数f(x)在区间[ab]上除点c(a