高数之定积分 (2).pdf

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1、§5．1定积分概念§53微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动在t时刻所经过的路程为S(t)速度为vv(t)S(t)(v(t)0)则在时间间隔[TT]内物体所经过的路程S可表示为12TS(T)S(T)及2v(t)dt21T1T即2v(t)dtS(T)S(T)T211上式表明速度函数v(t)在区间[TT]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[TT]上的增1212量这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[

2、ab]上连续并且设x为[ab]上的一点我们把函数f(x)在部分区间[ax]上的定积分xf(x)dxa称为积分上限的函数它是区间[ab]上的函数记为(x)xf(x)dx或(x)xf(t)dtaa定理1如果函数f(x)在区间[ab]上连续则函数(x)xf(x)dxa在[ab]上具有导数并且它的导数为dx(x)f(t)dtf(x)(ax

3、dtxxf(t)dtxf(t)dtaxaxxf(t)dtf()xx应用积分中值定理有f()x其中在x与xx之间x0时x于是(x)limlimf()limf()f(x)xx0x0x若xa取x>0则同理可证(x)f(a)若xb取x<0则同理可证(x)f(b)1§5．1定积分概念定理2如果函数f(x)在区间[ab]上连续则函数(x)xf(x)dxa就是f(x)在[ab]上的一个原函数定理的重要意义一方面肯

4、定了连续函数的原函数是存在的另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[ab]上的一个原函数则bf(x)dxF(b)F(a)a此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式这是因为F(x)和(x)xf(t)dt都是f(x)的原函数a所以存在常数C使F(x)(x)C(C为某一常数)由F(a)(a)C及(a)0得CF(a)F(x)(x)F(a)由F(b)(b)F(a)得(b)F(b)F(a)

5、即bf(x)dxF(b)F(a)a证明已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数又根据定理2积分上限函数(x)xf(t)dta也是f(x)的一个原函数于是有一常数C使F(x)(x)C(axb)当xa时有F(a)(a)C而(a)0所以CF(a)当xb时F(b)(b)F(a)所以(b)F(b)F(a)即bf(x)dxF(b)F(a)a为了方便起见可把F(b)F(a)记成[F(x)]b于是abf(x)dx[F(x)]F(b)F(a)baa进一步揭

6、示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系1x例1.计算2dx01解由于x3是x2的一个原函数所以311111x2dx[x3]113030303332§5．1定积分概念3dx例2计算11x21解由于arctanx是的一个原函数所以1x23dx7[arctanx]3arctan3arctan(1)()11x21341211例3.计算dx2x解11dx[ln

7、x

8、]1ln1ln2ln22x2例4.计算正弦曲线ysinx在[0]上与x轴所围

9、成的平面图形的面积解这图形是曲边梯形的一个特例它的面积Asinxdx[cosx](1)(1)200例5.汽车以每小时36km速度行驶到某处需要减速停车设汽车以等加速度a5m/s2刹车问从开始刹车到停车汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间当t0时汽车速度361000v36km/hm/s10m/s03600刹车后t时刻汽车的速度为v(t)vat105t0当汽车停止时速度v(t)0从v(t)105t0得t2(s)于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为221

10、sv(t)dt(105t)dt[10t5t2]210(m)0020即在刹车后汽车需走过10m才能停住xtf(t