高数之重积分 (2).pdf

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1、§9．2二重积分的计算法§92二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X型区域D(x)y(x)axb12Y型区域D(x)y(x)cyd12混合型区域设f(xy)0D{(xy)

2、(x)y(x)axb}12此时二重积分f(x,y)d在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以区域D为底的曲D顶柱体的体积对于x[ab]曲顶柱体在xx的截面面积为以区间[(x)(x)]为底、以曲001020线zf(xy)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为0(x)A(x)20f(x,y

3、)dy0(x)010根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为bb(x)VA(x)dx[2f(x,y)dy]dxaa(x)1b(x)即Vf(x,y)d[2f(x,y)dy]dxa(x)D1可记为b(x)f(x,y)ddx2f(x,y)dya(x)D1类似地如果区域D为Y型区域D(x)y(x)cyd12则有d(y)f(x,y)ddy2f(x,y)dxc(y)D1例1计算xyd其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域D解画出区域D方法

4、一可把D看成是X型区域1x21yx于是1§9．2二重积分的计算法2x2y2121x4x29xyd[xydy]dx[x]xdx(x3x)dx[]2111212124218D2x2x注积分还可以写成xyddxxydyxdxydy1111D解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是222x22y3y49xyd[xydx]dy[y]2dy(2y)dy[y2]21y12y12818D例2计算y1x2y2d其中D是由直线y1、x1及y

5、x所围成的闭区D域解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是1111311y1x2y2ddxy1x2y2dy[(1x2y2)2]1dx(

6、x

7、31)dx1x31x31D211(x31)dx302也可D看成是Y型区域:1y11x

8、yx于是121x4xxyddxxydydxxydy0x1x2D积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是2y22x212xyddyxydx[y]y2dy[y(y2)2y5]dy1y212y221D1y44y65[y32y2]25243618讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为2§9．2二重积分的计算法x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V然后再乘

9、1以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)

10、0yR2x2,0x}为底以zR2x2顶的曲顶柱体于是RR2x2RV8R2x2d8dxR2x2dy8[R2x2y]R2x2dx0000DR168(R2x2)dxR303二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)dDn按二重积分的定义f(x,y)dlimf(,)iii0Di1下面我们来研究这个和的

11、极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为111()22(2)i2iii2ii2iiii()iii2iiiii其中表示相邻两圆弧的半径的平均值i在内取点(,)设其直角坐标为()iiiii则有cossiniiiiiinn于是limf(,)limf(cos,sin)iiiiiiiiii0