高数之定积分 (1).pdf

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1、§5．1定积分概念第五章定积分§51定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数yf(x)在区间[ab]上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[ab]中任意插入若干个分点axxxxxb012n1n把[ab]分成n个小区间[xx]

2、[xx][xx][xx]011223n1n它们的长度依次为xxxxxxxxx110221nnn1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间[xx]上任取一点以[xx]为底、f()为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i12i1iii1iin)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即nAf()xf()xf()xf()x1122nniii1求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多

3、、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记max{xxx}于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令12n0所以曲边梯形的面积为nAlimf()xii0i12变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔[TT]上t的连续函数且v(t)0计算在这12段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔[TT]分成n个小的时间间隔t在每个

4、小的时间间隔t内物体运动看12ii成是均速的其速度近似为物体在时间间隔t内某点的速度v()物体在时间间隔t内运动iiii的距离近似为Sv()t把物体在每一小的时间间隔t内运动的距离加起来作为物体在时iiii间间隔[TT]内所经过的路程S的近似值具体做法是121§5．1定积分概念在时间间隔[TT]内任意插入若干个分点12TtttttT1012n1n2把[TT]分成n个小段12[tt][tt][tt]0112n1n各小段时间的长依次为ttttttttt

5、110221nnn1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为SSS12n在时间间隔[tt]上任取一个时刻(tt)以时刻的速度v()来代替[tt]上各i1iii1iiiii1i个时刻的速度得到部分路程S的近似值即iSv()t(i12n)iii于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即nSv()tiii1求精确值记max{ttt}当0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程12nnSlimv()tii0

6、i1设函数yf(x)在区间[ab]上非负、连续求直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(1)用分点axxxxxb把区间[ab]分成n个小区间012n1n[xx][xx][xx][xx]记xxx(i12n)011223n1niii1(2)任取[xx]以[xx]为底的小曲边梯形的面积可近似为ii1ii1if()x(i12n)所求曲边梯形面积A的近似值为iinAf()xiii1(3)记max{xx

7、x}所以曲边梯形面积的精确值为12nnAlimf()xii0i1设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔[TT]上t的连续函数12且v(t)0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点TtttttT把时间间隔[TT]分成n个小时间1012n1n212段[tt][tt][tt]记ttt(i12n)0112n1niii12§5．1定积分概念(2)任取[tt]在时间段[tt]内物体所经过的路程可近似为v()tii1ii1iii(

8、i12n)所求路程S的