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1、第六章定积分应用习题课一、定积分应用的类型1．几何应用平面图形的面积特殊立体的体积平面曲线弧长旋转体的体积平行截面面积为已知立体的体积2．物理应用变力作功水压力引力二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分．无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：
2、①选取适当的坐标系；②确定积分变量和变化范围；③在上求出微元解析式（积分式）。④把所求的量表示成定积分三、典型例题1.几何应用定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。【例1】求由所围成图形的面积。分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取为积分变量,则设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元素就是在上以“以直代曲”所形成的矩形面积。解：(1)确定积分变量和积分区间：的交点为和,取为积分变量,则由
3、于曲线和（2）求微元：任取如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间所对应的矩形的面积。因此（3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为计算上面的积分得：分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图【例2】*求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积。所示。如果取为积分变量，则设区间所对应的曲边梯形就是在上“以直代曲”所形成的矩形面积。面积为则面积元素考虑到当和时上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也不同，因此微元应该分别
4、去求.解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点的坐标为则过原点且与相切的切线方程为：由得的坐标为.故得到切线方程为.所以选取为积分变量,.（2）求微元：任取,则当时,那么面积元素就是区间所对应的矩形的面积，（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：解上面的积分得：即当时,那么面积元素就是区间所当对应的矩形的面积，即【例3】求由摆线,的一拱与轴所围成图形的面积.分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元素就是在上“以直代曲”所形成的矩形面积。如果取为积分
5、变量,则.解:(1)确定积分变量和积分区间：选取为积分变量，(2)求微元：,,那么面积元素就是区间所对应的矩形的面积，即.(3)求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：【例4】求曲线围成的图形的面积.分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。所对应的曲边扇形的面积为所求图形的面积则面积元素就是用区间所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积面积因为曲线关于轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.取为积分变量,则设区间解：(1)确定积分变量和积分区间:取为积分变量，(2)求微元：任取则面积元素就是
6、区间所对应的扇形面积,(3)求定积分：第一象限图形的面积表示为则所求的几何面积为【例5】设由曲线，及围成平面图形绕轴,轴旋转而成的旋转体的体积。分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕轴旋转时，取为积分变量;绕轴旋转时,取为积分变量。设区间对或对或所对应的曲边梯形为是以直代曲所形成的矩形为则绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积微元就是矩形分别绕轴、轴旋转而成的体积.解:(一)求绕轴旋转而成的旋转体的体积（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,旋转体体积元素是对应的矩形绕轴所得的旋转体的体积，即（2）求
7、微元：对取为积分变量,则（3）求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为计算积分得：（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,取为积分变量,则(二)求绕轴旋转而成的旋转体的体积（2）求微元：对旋转体的体积元素是对应的矩形绕轴所得的旋转体体积,即（3）求定积分：绕轴所得的旋转体的体积表示为计算积分得:通过例5，同样可求出绕平行于轴和平行于轴的直线旋转而成的旋转体的体积，见例6。对设区间所对应的曲边梯形为旋转而成的旋转体的体积。【例6】设由曲线及围成平面图形试求平面图形绕直线旋转而成的旋转体的体积
8、。的旋转体的体积微元就是矩形分别绕直线分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线以直代曲所形成的矩形为则绕直线旋转而成平行于轴,所以绕直线旋转时,取积分变量。解:(1)确定积分变量和积分区间：(2)求微元：对轴所得的旋转体的体积，即取为积分变量,则绕直线旋转如图，旋转体的体积元素是对应的矩形绕计算积分得：(3)求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为【例7】计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择
