高数之不定积分 (1).pdf

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1、§4．1不定积分的概念与性质第四章不定积分§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一xI都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数例如因为(sinx)cosx所以sinx是cosx的原函数又如当x(1)时11因为(x)所以x是的原函数2x2x提问:1cosx和还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数F(x)使对任一x

2、I都有F(x)f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数F(x)C都是f(x)的原函数其中C是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数则(x)F(x)C(C为某个常数)定义2在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分记作f(x)dx其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx称为被积表达式x称为积分变量

3、根据定义如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数那么F(x)C就是f(x)的不定积分即f(x)dxF(x)C因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数例1因为sinx是cosx的原函数所以cosxdxsinxC1§4．1不定积分的概念与性质1因为x是的原函数所以2x1dxxC2x1例2.求函数f(x)的不定积分x1解：当x>0时(lnx)x1dxlnxC(x>0)x11当x<0时[ln(x)](1)xx1dxln(x)C(x<0)x合并上面两式得

4、到1dxln

5、x

6、C(x0)x例3设曲线通过点(12)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为yf(x)按题设曲线上任一点(xy)处的切线斜率为yf(x)2x,,即f(x)是2x的一个原函数因为2xdxx2C故必有某个常数C使f(x)x2C即曲线方程为yx2C因所求曲线通过点(12)故21CC1于是所求曲线方程为yx21积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系d[f(x)dx]f(x)

7、dx或d[f(x)dx]f(x)dx又由于F(x)是F(x)的原函数所以F(x)dxF(x)C2§4．1不定积分的概念与性质或记作dF(x)F(x)C由此可见微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号与d连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)kdxkxC(k是常数)1(2)xdxx1C11(3)dxln

8、x

9、Cx(4)exdxexCax(5)axdxClna(6)cosxdxsinxC(7)

10、sinxdxcosxC1(8)dxsec2xdxtanxCcos2x1(9)dxcsc2xdxcotxCsin2x1(10)dxarctanxC1x21(11)dxarcsinxC1x2(12)secxtanxdxsecxC(13)cscxcotdxcscxC(14)shxdxchxC(15)chxdxshxC111例4dxx3dxx31CCx3312x23§4．1不定积分的概念与性质5151272例5x2xdxx2dxx2C

11、x2Cx3xC577124dx4x11例6x333dxC3x3CCx3x413x3三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx这是因为,[f(x)dxg(x)dx][f(x)dx][g(x)dx]f(x)g(x).性质2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即kf(x)dxkf(x)dx(k是常数k0)51例7.x(x25)dx(x25x2)dx5151

12、x2dx5x2dxx2dx5x2dx2723x25x2C