高数之不定积分 (2).pdf

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1、§4．1不定积分的概念与性质§42换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF[(x)]dF(u)F(u)duF[(x)]d(x)F[(x)](x)dx所以F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]因此F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]F[(x)]C即f[(x)](x)dxf[(x)]d

2、(x)[f(u)du]u(x)[F(u)C]F[(x)]Cu(x)定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而微分等式(x)dxdu可以应用到被积表达式中在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为g(x)f[(x)](x)的形式那么g(x)dxf[(x)](x)dx[f(u)du]u(x)例1.2cos2xdx

3、cos2x(2x)dxcos2xd(2x)cosudusinuCsin2xC11111例2.dx(32x)dxd(32x)32x232x232x1111dxln

4、u

5、Cln

6、32x

7、C2u22例3.2xex2dxex2(x2)dxex2d(x2)eudueuCex2C11例4.x1x2dx1x2(x2)dx1x2dx222111131x2d(1x2)u2duu2C22313(1x2)2C31§4．1不定积分的概念与

8、性质sinx1例5.tanxdxdxdcosxcosxcosx1duln

9、u

10、Culn

11、cosx

12、C即tanxdxln

13、coxs

14、C类似地可得cotxdxln

15、sinx

16、C熟练之后变量代换就不必再写出了111例6.dxdxa2x2a2x1()2a11x1xdarctanCaxaaa1()2a11x即dxarctanCa2x2aaxxxx例7.chdxachdashCaaaa例8.当a0时,1111xxdxdxdarcsinCa2x2ax

17、xaa1()21()2aa1x即dxarcsinCa2x2a1111111例9.dx()dx[dxdx]x2a22axaxa2axaxa111[d(xa)d(xa)]2axaxa11xa[ln

18、xa

19、ln

20、xa

21、]Cln

22、

23、C2a2axa11xa即dxln

24、

25、Cx2a22axadxdlnx1d(12lnx)例10.x(12lnx)12lnx212lnx1ln

26、12lnx

27、C22§4．1不定积分的概念与性质e3x2例11.dx2e3x

28、dxe3xd3xx32e3xC3含三角函数的积分例12.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosx1dcosxcos2xdcosxcosxcos3xC3例13.sin2xcos5xdxsin2xcos4xdsinxsin2x(1sin2x)2dsinx(sin2x2sin4xsin6x)dsinx121sin3xsin5xsin7xC3571cos2x1例14.cos2xdxdx(dxcos2xdx)221111dxcos2xd2x

29、xsin2xC24241例15.cos4xdx(cos2x)2dx[(1cos2x)]2dx21(12cos2xcos22x)dx4131(2cos2xcos4x)dx422131(xsin2xsin4x)C428311xsin2xsin4xC84321例16.cos3xcos2xdx(cosxcos5x)dx211sinxsin5xC21011例17.cscxdxdxdxsinxxx2sincos223§4．1不定积分的概念与性质xxddtan22xln

30、tan

31、

32、Cln

33、cscxcotx

34、Cxxx2tancos2tan222即cscxdxl