高数之重积分 (3).pdf

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1、§9．2二重积分的计算法§93三重积分一、三重积分的概念定义设f(xyz)是空间有界闭区域上的有界函数将任意分成n个小闭区域vvv12n其中v表示第i个小闭区域也表示它的体积在每个v上任取一点()作乘iiiiin积f()v(i12n)并作和f(,,)v如果当各小闭区域的直径中的iiiiiiiii1最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分记作f(x,y,z)dv即nf(x,y,z)dvlim

2、f(,,)viiii0i1三重积分中的有关术语——积分号f(xyz)——被积函数f(xyz)dv——被积表达式dv体积元素xyz——积分变量——积分区域在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则vxyz因此iiii也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作f(x,y,z)dvf(x,y,z)dxdydzn当函数f(xyz)在闭区域上连续时极限limf(,,)v是存在的iiii0i1因此f(xyz)在上的三重积分是存在

3、的以后也总假定f(xyz)在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如[cf(x,y,z)cg(x,y,z)]dvcf(x,y,z)dvcg(x,y,z)dv1212f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(x,y,z)dv1212dvV其中V为区域的体积二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为1§9．2二重积分的计算法z(xy)zz(xy)y(x)yy(x)

4、axb1212z(x,y)则f(x,y,z)dv[2f(x,y,z)dz]dz(x,y)D1by(x)z(x,y)dx2[2f(x,y,z)dz]dyay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)dx2dy2f(x,y,z)dzay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)即f(x,y,z)dvdx2dy2f(x,y,z)dzay(x)z(x,y)11其中D:y(x)yy(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区域12提示设空间闭区域可表为z(xy)zz(x

5、y)y(x)yy(x)axb1212计算f(x,y,z)dv基本思想对于平面区域Dy(x)yy(x)axb内任意一点(xy)将f(xyz)只看作z的函数12在区间[z(xy)z(xy)]上对z积分得到一个二元函数F(xy)12z(x,y)F(x,y)2f(x,y,z)dzz(x,y)1然后计算F(xy)在闭区域D上的二重积分这就完成了f(xyz)在空间闭区域上的三重积分z(x,y)by(x)z(x,y)F(x,y)d[2f(x,y,z)dz]ddx

6、2[2f(x,y,z)dz]dyz(x,y)ay(x)z(x,y)DD111z(x,y)则f(x,y,z)dv[2f(x,y,z)dz]dz(x,y)D1by(x)z(x,y)dx2[2f(x,y,z)dz]dyay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)dx2dy2f(x,y,z)dzay(x)z(x,y)11by(x)z(x,y)即f(x,y,z)dvdx2dy2f(x,y,z)dzay(x)z(x,y)11其中D:y(x)yy(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区

7、域122§9．2二重积分的计算法例1计算三重积分xdxdydz其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域解作图区域可表示为:10z1x2y0y(1x)0x121x11x2y于是xdxdydzdx2dyxdz0001x1xdx2(1x2y)dy00111(x2x2x3)dx4048讨论其它类型区域呢?有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域{(xyz)

8、(xy)Dczc}其中D是竖坐标

9、为z的平面截空z12z间闭区域所得到的一个平面闭区域则有cf(x,y,z)dv2dzf(x,y,z)dx