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1、北京工业大学高等数学教程1为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表）.级数来分析问题,2引例一人骑车从距家a公里处以每小时b公里的速度回家.一只苍蝇以每小时2b公里的速度在车的前轮和家门之间往返飞行.问：骑车人到家时，苍蝇飞行了多少公里.第一个往返，人与苍蝇通过的路程之和是2a公里.苍蝇速度是人的2倍.所以苍蝇飞行了公里,人走了公里,距家公里.31次数距家人苍蝇23
2、n…………4骑车人走了a公里,苍蝇速度是人的2倍,飞了2a公里.57.1常数项级数的概念和性质第七章无穷级数7.1.1常数项级数的概念给定一个常数列称为(常数项)无穷级数,简称级数.记为即其中第n项称为级数的一般项,或通项.则表达式6(常数项)无穷级数一般项如以上均为(常)数项级数.(1)7这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项之和第n部分和.部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.8定义7.1级数的前n项和称为级数的部分和.
3、记为即则称级数收敛,极限s称为级数的和,则称级数发散.注:如果级数发散,只是形式上的和,无数值意义.如果部分和数列的极限不存在,9称为级数的余项.显然有当n充分大时,当级数收敛时,其部分和是级数和s的近似值.误差为注常数项级数收敛(发散).(不存在)存在10解例讨论等比级数(又称几何级数)的收敛性,其中q叫做级数的公比.收敛;发散;11发散;发散.级数变为综上所述重要结论:例公比为q的几何级数的和12讨论级数的敛散性.解例因为为公比的等比级数,是以故级数收敛.发散.13证因证明等差级数是发散的.所以,该级数发散.例形如的级数称为等差级数,其中14解例判定级数
4、的敛散性.所以,该级数收敛,且其和为1.15的部分和分别为则于是证性质1k是一常数,所以,7.1.2收敛级数的基本性质如果级数收敛于s,并且其和为ks.则级数也收敛,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.16性质2发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.证极限的性质即证.级数的部分和如果级数都收敛,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.17例都收敛.无穷递减等比级数的和18性质3添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质4设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.证则19四个相关命题:(1)收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛
5、.(3)收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.(2)加括弧后发散的级数,去括弧后仍发散.(4)发散的级数加括弧后不一定发散.收敛发散20证性质5(级数收敛的必要条件)若级数收敛,则所以必要条件不充分！！！21(1)级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;(3)必要条件不是充分条件.如调和级数(2)也可用于验证数列的极限为“0”;但级数是否收敛?发散注意:例如,22发散重要结论:所以,级数发散.这是不可能的,假设调和级数收敛,其和为s.于是因有23两个相关命题:24例判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路25解由于发散解由于发散26解而
6、级数所以这个等比级数发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.27练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:28作业习题7.1(64页)1.(2)(4)3.(3)(4)(5)5.29
