常数项级数的概念和性质.ppt

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1、常数项级数的概念和性质1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、问题的提出1.常数项级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…,则称表达式为一个常数项级数，简称级数.其中，un称为常数项级数的一般项或通项.二、常数项级数的概念例1.下列各式均为常数项级数2.常数项级数的敛散性定义常数项级数级数的前n项之和：称为常数项级数的部分和.若存在，则称级数收敛，S称为级数的和：观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放周长为面积为第次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．例2.讨论等比级数的敛散性.解：等比级数的部

2、分和为：当公比

3、r

4、<1时，即当公比

5、r

6、>1时，当公比r=1时，当公比r=1时，Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.综上所述，当公比

7、r

8、<1时,等比级数收敛；当公比

9、r

10、1时，等比级数发散.例3.讨论级数的敛散性.解：而故，即该级数收敛.3.收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项，记为的和S与其部分和Sn的差SSn显然定理：若级数收敛，则必有证设三、级数收敛的必要条件例4.判别的敛散性.解：由于故该级数发散.例5.证明调和级数是发散的.证调和级数的部分和有：由数学归纳法，得k=0,1,2,而故不存在，即调和级数发散.若c0为常数，则有相同的敛散性

11、，且四、无穷级数的性质性质1证的部分和为的部分和为故从而同时收敛或同时发散.若其和分别为S1和S2，则级数且性质2证的部分和为：故即级数收敛，且例6.因为等比级数所以级数例7.问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)性质3证设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为S'k:由于Sm当m固定时为一常数，所以故级数与级数对收敛的级数加括号后所得到的新级

12、数仍然收敛，且其和不变.性质4例8.考虑一下几个问题：(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.证明五、级数收敛的必要条件注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.讨论8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.思考题思考题解答能．由极限的夹逼准则即知．课堂练习题课堂练习题答案常数项级数的基本概念基本审敛法六、小结