常数项级数的概念和性质.ppt

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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数第九章常数项级数的概念和性质二、常数项级数的概念三、无穷级数的基本性质四、级数收敛的必要条件第一节第九章一、问题的提出一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积二、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和2.级数的收敛与发散:余项解收敛发散发散发散综上解已知级数为等比级数，解例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛

2、散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.解性质3.在级数中去掉、加上或改变有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.因此必有例如机动目录上页下页返回结束注意收敛级数去括弧后所

3、成的级数不一定收敛.收敛发散例6.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.四、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部

4、分和数列为单调增加数列.证明即部分和数列有界3.比较审敛法不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.证明4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.解原级数发散.故原级数收敛.证明收敛发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法级数

5、收敛.习惯塑造人生从自己的经历谈什么事先做起来教育就是养成习惯——叶圣陶.一个人不想做某事，可以找出千万条理由，下决心做一件事情时，有一条理由就足够了。同学们在日常学习、生活中习惯了给自己不做某事找借口、找托词、找原因。其实就是为了“心安理得”，不妨换个角度想问题，找一条理由来做某件事情是多么容易。