常数项级数的概念和性质

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1、第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解1．写出下列级数的一般项：⑴；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列，分母为偶数数列，于是得级数的一般项为，。⑵；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即，偶数项为3的乘幂，幂指数为项数的一半，即，于是有，，。也可为，。【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成

2、，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有，，，......于是得，。⑶。【解】分析数列各项的表达规律：8第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数于是得，，检验当时，，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得，。2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性：⑴；【解】级数前项和为，由于，知级数收敛，收敛于。⑵；【解】级数前项和为，由于，知级数发散。⑶；【解】级数前项和为，

3、8第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解由于，知级数发散。⑷。【解】级数前项和为+…………各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相互抵销为0，按此规律，第一括号中余下，第二括号中余下，而第三括号与后面括号抵销完，...，同理，倒数第三个括号与前面括号抵销完，倒数第二个括号中余下，倒数第一个括号中余下，于是，，由于，知级数收敛，收敛于。3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：⑴；【解】这是等比级数，首项为，公比为，可见，知级数收敛，其和为。8第7章无

4、穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解⑵；【解】这是等比级数，首项为，公比为，可见，知级数收敛，其和为。⑶；【解】这是等比级数，公比为，可知级数发散。⑷；【解】，其中，级数为首项，公比的等比级数，其和为；级数为首项，公比的等比级数，其和为，由性质7.1.1知，级数也收敛，其和为，于是由性质7.1.2知，级数收敛，其和为。⑸；【解】这是等比级数，首项为，公比为，可见8第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解，知级数收敛，其和为。⑹。【解】级数为，为两收敛等比级数的和，是收敛的。其中的和为

5、，的和为，从而的和为。4．求级数的和．【解】级数为等比级数，其和为，级数，其前项和为，得知其和为综上知，级数的和为。５．判断下列级数的敛散性：⑴；【解】级数的通项是，由于，所以该级数发散。⑵；8第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解【解】级数的通项是，由于，所以该级数发散。⑶。【解】由于不存在，所以该级数发散。６．设级数收敛，发散，证明：级数发散。【证明】由级数收敛定义，知不存在，从而由极限运算法则知，也不存在，可知级数发散。证毕。7．判别级数是否收敛。【解】级数通项为，于是级数为，由

6、于调和级数发散，从而级数发散，即由上面第6题的结论知，级数也发散。*8．求级数的和。【解】由于，得8第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解，于是，。9．已知级数的前项的部分和，求这个级数。【解】由于，可知这个级数是。10．设级数的第次部分和为，判断级数的敛散性，若级数收敛，求它的和。【解】由于，知级数收敛于，而级数为由级数去掉前面两项得到，即由性质7.1.3知，级数也收敛，由于，可知级数的前两项为，，即得。8第7章无穷级数7.1常数项级数的概念和性质习题解11．证明：。【证明】，这是首

7、项为，公比为的等比数列，其和为。即为，证毕。8