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时间:2019-08-02
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1、第七章无穷级数无穷级数是高等数学的一个重要内容,无论在数学理论本身还是在实际中的应用都是一个非常有利的工具.本章主要研究常数项级数的概念及其收敛准则,然后讨论函数项级数,主要讨论幂级数以及如何将函数展开成幂级数的问题.§7.1常数项级数的概念和性质§7.2常数项级数的审敛法§7.3幂级数§7.4函数展开成幂级数第七章小结级数的概念级数的基本性质问题的提出7.1常数项级数的概念第七章无穷级数给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数,其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为定义1:一、级数的定义定义2:当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级
2、数发散.显然则称无穷级数收敛,并称S为级数的和,定义3:证明:例题一显然:因此级数是发散的。证明级数是发散的。级数得部分和为:证明:例题二矛盾,故假设不成立因此级数是发散的。证明级数是发散的。假设级数收敛,其和为S,则有:调和级数是发散的。则有:但有:解因为从而例题三拆项相消法。解练习1判别级数的敛散性:解:所以级数发散技巧:利用“拆项相消”求和练习2例.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成
3、为不存在,因此级数发散.解练习3结论:乘上一个不为零的数不改变级数的敛散性.结论:收敛级数的和(或差)仍然收敛.12三、基本性质解练习41.若级数收敛,而级数发散则,级数一定发散注意2.若级数发散,而级数发散则,级数可能收敛也可能发散例如:证明级数的收敛性与它的项数无关.或:在级数的前面加上或去掉有限项,收敛性不变。3结论证明4结论:收敛级数满足结合律或:收敛级数的各项可以任意组合(顺序不变).其和不变收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散注意推论判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.例题五证明(级数收敛的必要条件)5如果级数的一般项不趋于零
4、,则级数发散;发散注意12如果级数的一般项趋于零,则级数不一定收敛判别收敛性:解解例题六判别收敛性:解例题六一写出下列级数的通项二利用级数的基本性质,判别级数的敛散性三判别级数的敛散性(1)(2)(1)(1)(2)(2)总练习一(1)(2)二(1)发散(2)收敛三(1)级数收敛(2)发散练习答案常数项级数的基本概念判别级数收敛方法:小结
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