常数项级数的概念和性质(VIII)

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1、无穷级数是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。第十一章无穷级数一、常数项级数的概念1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积§11.1常数项级数的概念和性质问题的提出3.常数项无穷级数的概念其中第项叫做级数的一般项。一

2、般地，如果给定一个数列则由这数列构成的表达式叫做（常数项）无穷级数，记为即4.(常数项)无穷级数的部分和令这样所得到的数列叫做级数的部分和数列,叫做级数的部分和5.级数收敛的概念当级数收敛时，称为级数的余项，这时为近似值产生的误差叫做这级数的和；如果没有极限，则称无穷级数定义如果级数的部分和数列有极限,即则称无穷级数收敛，这时极限发散。解收敛发散发散发散综上解例3证明级数是发散的。二、收敛级数的基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明类似地可以证明

3、在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.事实上，对级数任意加括号若记则加括号后级数成为记的部分和为的部分和记为注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散则由数列和子数列的关系知必定存在且存在，证明如果级数收敛，则它的一般项趋于零，即性质5（级数收敛的必要条件）注1）级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。2）若，则级数发散。3）若，则级数不一定收敛。注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.由性质4推论,调和级数发散.小结常数项级数的基本概念基本审敛法§11.2常数项级

4、数的审敛法在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值。但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论一、正项级数及其审敛法1.正项级数概念各项都是正数或零的级数称为正项级数.2.正项级数的基本定理定理1正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。结论:正项

5、级数的部分和数列有界,则正项级数一定收敛;反之,若正项级数的部分和数列无界,则正项级数一定发散.定理2（比较审敛法）设和都是正项级数，且。若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则级数也发散。3.正项级数的比较审敛法推论1设和都是正项级数,且存在自然数N,使当时有成立,若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则级数也发散。解由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的

6、极限形式的比较审敛法证明4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,两级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法的推论,得证.解原级数发散.故原级数收敛.