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《常数项级数的概念和性质(印》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章无穷级数1无穷级数无穷级数常数项级数幂级数第九章主要研究无限个量相加的问题，包括无限个数和无限个函数相加的问题。2常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件第一节第九章31.引例：计算圆的面积.正三角形的面积这个和逼近于圆的面积A.a1即正十二边形面积为正六边形的面积+a2a1a1+a2+a3一、常数项级数的概念41.定义：给定一个数列将各项依即称为（常数项）无穷级数.⑴第n项叫做级数的一般项.次相加所构成的式子：说明：简记为一、常数项级数的概念
2、(2)无穷级数(每一项都是数)也称为常数项无穷级数，简称(常数项)级数。5问题1：“无穷个数相加”是否一定有和？例如：1＋(－1)＋1＋(－1)＋1＋(－1)+…如果写成(1－1)＋(1－1)＋(1－1)+…,结果是0如果写成1＋[(－1)＋1]＋[(－1)＋1]＋…,结果是1结果不同，故“无穷个数相加”不一定有和问题2：如果存在和，和等于什么？6再看例子Sn=0.33…3n两个概念：(1)级数的前n项和称为级数的部分和.其中(2)称为级数的部分和数列.7即则称级数收敛，极限s称为该级数的和，并
3、记作：如果部分和数列没有极限，则称级数发散，或者称该级数没有和.2.级数的收敛与发散：有极限s,如果级数部分和数列注意：(1)常数项级数收敛(发散)存在(不存在).收敛与发散二者必居其一.(2)给定一个级数，(3)级数收敛时才有和，发散时就没有和.8余项(4)如果级数收敛于s，即这时：显然存在级数收敛……………93.级数的敛散性举例：解所以级数的部分和为：例1判断级数的敛散性.所以原级数发散.10解例2判断级数的敛散性.若收敛,求其和s.所以级数收敛，和s=1.即技巧:利用“拆项相消”求和11例
4、3讨论等比级数(又称几何级数)解收敛发散当时，当时，时发散当时，的敛散性.当时，级数变为12因此n为奇数n为偶数从而不存在,因此级数发散.综上当时，当时，收敛，发散，收敛；收敛；发散；发散.如：首项其和为其和为1.13解所以级数的部分和为：例4判断级数的敛散性.所以原级数发散.注意：判断敛散性的方法：(1)找(2)求极限14这说明级数则级数二、无穷级数的基本性质分别收敛于与性质1.设有两个级数与，也收敛，且其和为证:设则也收敛，其和为15说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级
5、数都发散,不一定发散.例如,性质1表明两个收敛级数可以逐项相加或者逐项相减.(用反证法可证)即收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散就不一定发散16解∵∵例517由于极限或同时发散，且当级数同时收敛时，同时收敛和性质2.设c为非零常数，则级数与则证:设则同时收敛或同时发散，若从而级数与同时收敛或同时发散.且当同时收敛时，有18性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会改变级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为极限状况相同,故新旧两级所得新级
6、数时，如:类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性，但影响收敛级数的和.收敛19设设性质4.证:若收敛，任意加括号得到若则证毕.收敛级数加括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.收敛加括号后收敛一个新级数，如和分别表示新、老两个级数的前n项和推论:若加括号后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，……用反证法可证20例6.证明调和级数是发散的.解:考虑加括号后的级数即加括弧后的级数发散,从而原级数发散.内请熟记：调和级数是发散的.21三、级数
7、收敛的必要条件证:定理：如:级数收敛，当时,则有注意：1.反之不成立(因为是级数收敛的必要条件不充分).但它是发散的.故时，不一定收敛.级数但它是发散的.222.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题)所以是发散的.发散.发散.发散23判断级数发散的方法:解24★级数的基本概念★基本审敛法级数收敛(发散)存在(不存在)1.定义法：存在(不存在)级数收敛(发散)；小结2.发散.★收敛的必要条件★几个重要级数的敛散情况1.等比级数2.调和级数是发散的.25作业：P365,4(3),5(1)
8、,(5),(7)预习：从366到371页26例1：判断级数的敛散性.解答：所以原级数发散.备用题27例2解28解∵29
