常数项级数的概念和性质(V)

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1、常数项级数的概念和性质三、常数项级数的概念四、无穷级数的基本性质五、级数收敛的必要条件第一节一、函数逼近理论简介二、预备知识回顾一、函数逼近理论简介1.用什么函数来逼近2.以什么方式来逼近Pn(x)=a0+a1x+…+anxn，n=1,2,…Tn(x)=a0+(a1cosx+b1sinx)+…+(ancosnx+bnsinnx)，n=1,2,…全局性逼近局部逼近二、预备知识回顾1.数列：a1,a2,…,an,…数列前n项和Sn=a1+a2+…+an(1)单调有界数列必收敛3.有关性质：——数列2.=a当n>N时,

2、an–a

3、(3)=S，若=S，则=S设(4)=S1，=S2，若S1≠S

4、2，则数列Sn发散；若S1=S2，则数列Sn可能收敛也可能发散.(2)如果一数列收敛于S，那么，其任一子数列均收敛于S.三、常数项级数的概念R求圆面积A？A≈A≈a1a1+A≈a1+a2+……A≈a1+a2+…+内接正多边形的边数无限增多，则和的极限就是圆的面积。a2a3an1.引例2.级数的定义级数的前n项的和称为级数的部分和：如果级数中的每一项都是常数，称该级数称为部分和数列，记作一般项为常数项级数.无穷级数简称级数,它总是无穷项的和。有限项之和不能称为级数3.级数的收敛与发散若部分和数列{Sn}收敛于S，收敛，否则，称发散.则称级数S称为的和，并写成S=定理常数项级数收敛（或发

5、散）存在（或不存在）.如：（1）（2）（3）（4）收敛收敛发散发散Sn=（1）（2）Sn==0（3）Sn=（4）Sn=解收敛发散发散发散综上等比级数是一个常用的级数解已知级数为等比级数，例2调和级数发散.证明：要证级数发散，本例部分和不好求，只需证部分和数列极限不存在；但若存在发散的子列，分析则原级数发散.证考虑∴发散，发散从而∴发散.又证调和级数也是一个常用的级数，它是发散的。例2调和级数发散.证明：解在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时，“拆项”是常用的方法之一。性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后

6、其敛散性不变.即其和为cS.四、无穷级数的基本性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为注由性质2可知，两收敛级数的和或差是收敛级数两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如一收敛级数和一发散级数的和或差必发散1。2。3。用反证法：解证明:设这说明在级数前面减去有限项不影响级数的敛散性，类似地可以证明在级数前面加上有限项也不影响级数的敛散性.证明注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散五、级数收敛的必要条件证明级数收敛的必要条件:级数收敛的必要条件只能用于判定级数是否发散，不能用于判定级数是否收敛.注如果级数的一般项不趋于零,则级数发散发

7、散必要条件不充分1。2。六、小结常数项级数的基本概念基本审敛法