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1、第7章无穷级数无穷级数研究的是无穷多个数量或函数相加的问题，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具．本章先讨论常数项级数，然后讨论函数项级数，着重讨论幂级数及如何将函数展开成幂级数的问题．7/27/20211前言无穷级数的中心内容是收敛性理论.无穷级数的关键运算是极限.本章内容由二部分组成：常数项级数、泰勒级数（一类重要的幂级数），后者是函数项级数.本章的中心问题---函数逼近问题.对给定的一个函数，如何构造一系列函数（通常是一些比较“简单”的函数）来逼近它？1.以什么样的函数来逼近给定
2、函数.2.以什么样的方式来逼近给定函数.7.1常数项级数的概念和基本性质[引例]如何用比较简单的数逼近一个复杂的数.无理数也可以表示为无穷个有限小数的和的形式，即7.1.1常数项级数的概念定义1一般地，对于给定的数列称为常数项无穷级数，简称级数，记作一般项．练习1—pp184.3.写出下列级数的一般项.定义2级数的前n项和称为级数的部分和，记作，即则称收敛，s称为级数的和，记作如果数列极限不存在，则称级数发散.如果级数的部分和数列的极限存在，即，定义3当级数收敛时，其部分和是级数和的近似值，它们之间的差
3、值即常数项级数收敛(发散)存在(不存在)叫做级数的余项，证明：显然因此级数是发散的.例1证明级数是发散的.级数的部分和为证明：例2证明调和级数是发散的.假设级数收敛，其和为s，则有这与矛盾，故假设不成立，因此级数是发散的.而例3判定级数的敛散性.解级数的一般项级数的部分和为于是,所以级数收敛,其和为1练习2—pp184.4.用定义判定下列级数的敛散性.当时，解收敛发散发散发散综上当时，练习3—pp184.5.判定下列级数的敛散性.7.1.2常数项级数的基本性质性质7.1.1设c为非零常数,则级数与级数同
4、时收敛或同时发散,且同时收敛时,有证明：设级数与级数的部分和分别为与,则有于是,由数列极限的性质,当时，与同时收敛或同时发散，即级数与级数同时收敛或同时发散,且同时收敛时,有即有又如，收敛,那么(k为常数)也收敛,且收敛于.例如，发散，那么()也发散.练习4—pp184.5.判定下列级数的敛散性.性质7.1.2若级数与级数都收敛,则级数收敛,且有证明：设级数,与的部分和分别为,与,则有结论：两个收敛的级数可以逐项相加或相减.由于时，与极限存在，知极限也存在,且有即有由性质7.1.1和性质7.1.2，对于
5、收敛级数与,以及任意常数a,b,级数也收敛，且有练习5—pp184.5.判定下列级数的敛散性.性质7.1.3设k为任意正整数,则级数与同时收敛或同时发散.证明：对于任意给定的正整数k,记,设级数的前n项部分和与的前n-k项部分和分别为,,于是有因此,级数与有相同的敛散性.性质7.1.3表明，级数去掉、添加或改变有限项，均不改变级数的敛散性，但有限项的变动，收敛级数的和数将有所改变.性质7.1.4收敛级数加括号后所成的级数仍然为收敛级数,且收敛于原级数的和.例如,将相邻两项加括号,得级数其部分和数列实际上
6、是原级数部分和数列的子列于是,当级数收敛时,必有部分和数列收敛,其子列也必然收敛,且有相同的极限.注意1对于收敛级数,可以对它的项任意加括号,但要注意不能改变相关项的次序.注意2加括号后的级数收敛,不能推得原级数收敛（即性质的逆命题不一定成立）.收敛，且和为零，但原级数发散的.将级数的相邻两项合并得级数性质7.1.4的推论如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.(利用反证法)性质7.1.5(级数收敛的必要条件)如果级数收敛,则其一般项趋于零，即从而有证明:由于级数收敛,则存在极限,且有例5判定级数
7、的敛散性.由此例可见,性质7.1.5是判定级数发散的一个重要依据,它比利用级数发散定义来判定要方便得多.解因为所以由性质7.1.5知,该级数是发散的.注意:1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;2.一般项趋于零只是级数收敛的必要条件而非充分条件.有但级数是发散的.例如,调和级数例如,当时,不趋于零,因此这个级数发散.练习6—pp184.5.判定下列级数的敛散性.作业习题7P1843.4.57/27/202132
