常数项级数的概念和性质ppt课件.ppt

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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数第12章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第一节第12章教学目的与要求：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数(等比级数)的收敛性重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念几何级数(等比级数)的收敛性一、问题的提出引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正引例2.小球从1米高

2、处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设tk表示第k次小球落地的时间,二、常数项级数的概念定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,次相加,简记为部分和数列级数的部分和2.级数的收敛与发散:当级数收敛时,称差值为级数的余项.余项无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放周

3、长为面积为第次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．解收敛发散发散发散综上解已知级数为等比级数，解技巧:利用“拆项相消”求和例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为解等比级数三、无穷级数的基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)解证明类似地可以证明在级数前面加上（或去掉）有限项不影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛

4、发散例6.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.四、收敛的必要条件证明级数收敛的必要条件:注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;发散2.必要条件不充分.讨论8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)这说明原级数收敛,其和为3.(3)的充要条件是:*五、柯西审敛原理定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列的柯西审敛原理(第一章第六节)即得本定理的结论.例7.解:有利用柯西审敛原理判别级数当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可

5、知,级数六、小结常数项级数的基本概念基本审敛法思考题思考题解答能．由柯西审敛原理即知．练习题练习题答案观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推