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1、第十一章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数我们在上学期所学的定积分，其是一类和式的极限。有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，前面所述和式的极限存在实质是指无穷多项相加之和是一个确定的数。这一章我们专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子叫做无穷级数，当然在不至于引起混淆的情况下把无穷级数简称为级数。第一节常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即
2、内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正引例2.计算棒长.显然小于1，并且n值愈大，其数值愈接近于1，当时，的极限为1.引例3.斐波那契数列若一个数列，前两项都等于1，从第三项起，每一项都是其前两项之和，则称该数列为斐波动那契数列.令依次写出，就是例4.无理数e是一个重要而有趣味的数字，在数学和自然科学中，它有着很多的应用，这个数可以用级数表示为：关于无穷大有限与无限有着本质区别史铁生在“说死说活”9无限小与无限大你在变动不居之中。或者干脆说，你就是变动不居：变动不居的细胞组成、变动不居的思绪结构、变动不居的经历之网。你一直
3、变而不居，分分秒秒的你都不一样，你就像赫拉克利特的河，倏忽而不再。你的形转瞬即逝，你的肉身无限短暂。可是，变动不居的思绪与经历，必定是牵系于变动不居的整个世界。正像一个音符的存在，必是由于乐曲中每一个音符的推动与召唤。因此，每一个音符中都有全部乐曲的律动，每一个浪的涌落都携带了水的亘古欲望，每一个人的灵魂都牵系着无限存在的消息。顾沛释希尔伯特的例子：有无限个房间的旅馆现实世界中旅馆只有有限个房间。有无限个（可数无穷）房间的旅馆是人脑的产物。为了叙述方便起见，不妨设一个房间只住一个客人。客满是指无穷个客人，住进了这无穷个房间，每一个房间都有人住
4、。1.这样的旅馆客满之后又来了1位客人，老板能否安排2.这样的旅馆客满之后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排定义：给定一个数列将各项依即称上式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数.其中第n项叫做级数的一般项,次相加,简记为级数的前n项和称为级数的部分和.当n依次取1,2,3,…时,它们构成一个新的数列:称为部分和数列,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作部分和数列收敛，极限值S叫做级数的和，并写成注：收敛级数才有“和”的概念。无穷级数收敛性举例：Koch雪花
5、.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放周长为面积为第次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．收敛收敛发散发散无穷级数收敛性再举例认识几个常用的级数调和级数几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn-1p—级数例1.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和(2)所以级数(2)收
6、敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和例*.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为证明调和级数发散例2.证明算术级数例3.（其中不同时为零）发散解部分和所以上述算术级数发散。解用“拆项相消”求和法例4.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收
7、敛,其和为cS.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.例如:发散例如:收敛。性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为讨论级数的收敛性说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质4.收敛级数加括弧后
8、所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,因此必有例如注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一
