常数项级数的基本概念和性质课件.ppt

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1、第十一章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数傅氏级数常数项级数的基本概念和性质二、收敛级数的性质一、常数项级数的概念第十一章第一节引例1一、常数项级数的概念1.引例引例2用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积：设a0表示ak表示边数则圆内接正引例3内接正三角形面积,增加时增加的面积,一般项：级数的和2.定义给定数列无穷级数:部分和：无穷级数收敛：记作级数的余项：无穷级数发散：级数收敛时，例1(几何级数)1)若知故级数收敛,知则部分和故级数发散.其和为证明等比级数当时

2、收敛,当时发散.证2)若级数发散;n为奇数n为偶数结论：时收敛,时发散.则级数为不存在,等比级数等比级数因此级数发散.拆项相消解所以级数发散.例2判别级数的敛散性.部分和证(方法1)例3发散.12nn+1un(方法2)xyo(方法3)(方法4)见后面.二、收敛级数的性质性质1若收敛,证令则收敛,其和为cS.推论1其和为cS.收敛，则故敛散性相同.性质2设收敛级数则也收敛,其和为注的敛散性规律：收收为收，收发为发，发发不一定发.例如,1º收敛级数可逐项相加(减).2º性质3级数前面加上不影响级数的敛散性.证去掉前k项,的部分数敛散性相同.收敛

3、时,其和故新旧级新级数同敛散，有限项不影响级数的敛散性（去掉、或修改）有限项,和为性质4收敛级数加括弧后原级数的和.证设收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于推论2若加括弧后的级数发散,但例如，则原级数必发散.用反证法注？收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散例3的敛散性.解(方法4)…例4判断级数的敛散性解加括号级数为故加括号级数发散,从而原级数发散.性质5（级数收敛的必要条件）设收敛，则证注非级数收敛的充分条件.例如,调和级数发散，故所给级数发散.则级数必发散.推论3若例5(1)解(1)故原级数发散.小结:收敛发散例6判断敛散性,

4、若收敛求其和:解令则故级数发散.例7判断级数的敛散性：解原级数收敛,其和为3.内容小结1.无穷级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项2.两个常见级数的敛散性：(1)等比级数(2)调和级数3.级数性质：(1)敛散性相同(2)收敛级数可以逐项相加，(3)级数加不影响其敛散性.（去或改）有限项,(4)收敛级数加括弧后仍收敛于原级数的和.(5)级数收敛的必要条件:一般项的极限为零