高等数学随堂讲义常数项级数的概念和性质课件.ppt

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1、第一讲常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件一、常数项级数的概念1.无穷级数的概念2.无穷级数的收敛与发散一、常数项级数的概念1.无穷级数的概念2.无穷级数的收敛与发散(1)圆的面积.引例(2)分数的表示法无穷级数的概念给定一个数列由这数列构成的表达式级数,记为叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)其中第n项叫做级数的一般项.即一、常数项级数的概念1.

2、无穷级数的概念2.无穷级数的收敛与发散一、常数项级数的概念1.无穷级数的概念2.无穷级数的收敛与发散级数的部分和定义级数的部分和数列注如果没有极限,那么称无穷级数发散.当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然如果级数的部分和数列有极限即并写成那么称无穷级数收敛,这时极限叫做这级数的和,即:与同时收敛或同时发散.且在收敛时,有级数与数列极限的联系级数数列(q称为公比)的敛散性.例1讨论等比级数(又称几何级数)例2判别下列级数的敛散性注等比级数的敛散性收敛发散常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级

3、数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件性质1说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.性质1注性质2性质2说明:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.注如果级数收敛于和那么级数也收敛,且其和为如果级数与级数分别收敛于和与那么级数也收敛,且其和为若两级数中一个收敛一个发散,则必发散,但若二级数都发散,不一定发散.在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.性质3性质4注加括弧后的级数收敛,不能断定去括弧后的级数收敛.若

4、加括弧后的级数发散,则原级数必发散.如果级数收敛,那么对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有定理注则必发散.并非级数收敛的充分条件.收敛发散内容小结基本概念级数前n项部分和前n项部分和数列收敛发散余项基本结论等比级数的敛散性收敛发散级数收敛的必要条件收敛基本性质基本方法判敛思路必要条件收敛发散基本性质定义