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1、考点规范练57 不等式选讲 考点规范练A册第45页 基础巩固1.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=
2、x-1
3、-
4、2x-a
5、.(1)当a=5时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)设不等式f(x)≥3的解集为A,若5∈A,6∉A,求整数a的值.解(1)当a=5时,不等式f(x)≥0可化为
6、x-1
7、-
8、2x-5
9、≥0,即(x-1)2≥(2x-5)2,解得2≤x≤4,故不等式f(x)≥0的解集为[2,4].(2)据题意可得
10、5-1
11、-
12、10-a
13、≥3,
14、6-1
15、-
16、12-a
17、<3,解得9≤a≤11,a<10或a>14,即9≤a<10.又因为a∈Z,所以a=9.〚导学
18、号74920364〛2.(2016中原名校联盟四月仿真联考)已知函数f(x)=
19、2x-a
20、+a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x
21、-2≤x≤3},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.解(1)由f(x)≤6,得
22、2x-a
23、≤6-a,即a-6≤2x-a≤6-a,即a-3≤x≤3,故a-3=-2,即a=1.(2)由(1)知,f(x)=
24、2x-1
25、+1,令φ(n)=f(n)+f(-n),则φ(n)=
26、2n-1
27、+
28、2n+1
29、+2=2-4n,n≤-12,4,-1212.故φ(n)的
30、最小值为4,因此实数m的取值范围是[4,+∞).〚导学号74920365〛3.已知f(x)=3x+1a+3
31、x-a
32、.(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.解(1)当a=1时,由f(x)≥8得
33、3x+1
34、+3
35、x-1
36、≥8,①当x≤-13时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,∴x≤-1;②当-1337、3
38、x-a
39、≥3x+1a-(3x-3a)=1a+3a≥23≥m.当且仅当1a=3a,即a=33时,等号成立,∴m的最大值为23.〚导学号74920366〛4.(2016东北三省四市二模)已知x∈R,使得关于x的不等式
40、x-1
41、-
42、x-2
43、≥t恒成立.(1)求满足条件的实数t所构成的集合T;(2)若m>1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.解(1)令f(x)=
44、x-1
45、-
46、x-2
47、,则f(x)≥
48、x-1-x+2
49、=1,故t≤1.故T=(-∞,1].(2)由(1)知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,只
50、需log3m·log3n≥tmax=1.又m>1,n>1,所以log3m>0,log3n>0.又1≤log3m·log3n≤log3m+log3n22=[log3(mn)]24(当log3m=log3n时取“=”),所以log3(mn)≥2,mn≥9,所以m+n≥2mn≥6,即m+n的最小值为6(此时m=n=3).〚导学号74920367〛5.已知函数f(x)=m-
51、x-2
52、,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c≥9.(1)解∵f(x+2)=m-
53、x
54、,∴f(x+2
55、)≥0等价于
56、x
57、≤m.由
58、x
59、≤m有解,得m≥0,且其解集为{x
60、-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)证明由(1)知1a+12b+13c=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c≥a×1a+2b×12b+3c×13c2=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.〚导学号74920368〛能力提升6.(2016河南洛阳二模)已知f(x)=
61、x+1
62、+
63、x-1
64、,不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M;(2)当a,b∈M时,证明:2
65、a+b
66、<
67、4+a
68、b
69、.(1)解f(x)=
70、x+1
71、+
72、x-1
73、=-2x,x<-1,2,-1≤x≤1,2x,x>1.当x<-1时,由f(x)=-2x<4,得-21时,由f(x)=2x<4,得174、a+b
75、<
76、4+ab
77、.〚导学号749203
