2、x1=-23,x2=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-∞,-23-23-23,11(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)的递增区间为-∞,-23与(1,+∞);递减区间为-23,1.(2)f(x)=x3-12x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-23时,f-23=2227+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).〚导学号74920451〛2.(2016四川,文21)设函
3、数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=1x-eex,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.解(1)f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0有x=12a.当x∈0,12a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈12a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1.当x>1时,s'
4、(x)>0,所以ex-1>x,从而g(x)=1x-1ex-1>0.(3)由(2),当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当01.由(1)有f12a0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h
5、(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a∈12,+∞.〚导学号74920452〛3.(2016沈阳质量监测)已知函数f(x)=alnx(a>0),e为自然对数的底数.(1)若过点A(2,f(2))的切线斜率为2,求实数a的值;(2)当x>0时,求证:f(x)≥a1-1x;(3)若在区间(1,e)上,f(x)x-1>1恒成立,求实数a的取值范围.解(1)∵f'(x)=ax,∴f'(2)=a2=2,∴a=4.(2)证明:令g(x)=alnx-1+1x,则g'(x)=a1x-1x2.令g'(x)>0,得x>1;g'(x)<0,得06、;所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.所以g(x)的最小值为g(1)=0,所以f(x)≥a1-1x.(3)要使f(x)x-1>1在区间(1,e)上恒成立,即使alnxx-1-1>0在区间(1,e)上恒成立,即alnx+1-xx-1>0在区间(1,e)上恒成立.令h(x)=alnx+1-x,则h'(x)=ax-1.令h'(x)>0,解得xe时,h(x)在(1,e)内单调递增,所以h(x)>h(1)=0.当17、(1,e)内单调递减,则需h(e)≥0,而h(e)=a+1-e<0,不符合题意.综上,实数a的取值范围为[e-1,+∞).〚导学号74920453〛4.(2016山东青岛一模)已知函数f(x)=sinx-ax,ln2>sin12,ln4π<22.(1)对于x∈(0,1),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,h(x)=x(lnx-1)-f'(x),证明h(x)存在唯一极值点.解(1)由f(x)>0,得
