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1、考点规范练46 双曲线 考点规范练B册第33页 基础巩固组1.(2016吉林白山三模)当双曲线x2m2+8-y26-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的斜率为( ) A.±1B.±23C.±13D.±12答案B解析由题意可得6-2m>0,即m<3.由c2=m2+8+6-2m=(m-1)2+13,可得当m=1时,焦距2c取得最小值,此时双曲线的方程为x29-y24=1.故渐近线方程为y=±23x,即其渐近线的斜率为±23.2.(2016河南信阳、三门峡一模)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y
2、=2e-1x,则e=( )A.2B.3C.2D.6答案C解析因为e=ca,双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,所以2e-1=ba.又b=c2-a2,所以2e-1=c2-a2a2=e2-1,即为e2=2e,解得e=2(e=0舍去).3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D解析由题意知,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax
3、.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以2ba1+ba2=3,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-y23=1.4.已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( )A.2B.3C.2D.5〚导学号74920516〛答案D解析不妨设点P位于第一象限,F1为左焦点,
4、PF2
5、=m-d,
6、PF1
7、=m,
8、F1F2
9、=m+d,其中m>d>0,则有(m-d)2+m2=(m+d)2,
10、解得m=4d,故双曲线的离心率e=
11、F1F2
12、
13、PF1
14、-
15、PF2
16、=5.5.设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(
17、PF1
18、-
19、PF2
20、)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( )A.2B.15C.4D.17〚导学号74920517〛答案D解析由双曲线的定义知,(
21、PF1
22、-
23、PF2
24、)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3·ba=4,解得ba=4ba=-1舍去.因为双曲线的离心率e=ca=1+b2a2,所以e=17.故选D.6.(2016河南焦作二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点
25、为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为( )A.32B.2C.3D.4〚导学号74920518〛答案B解析因为双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径R=1.所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca=2.7.(2016河北南宫一中三模)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的离心率为 . 答案233解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即为bx-ay=0,一
26、个焦点为(c,0),所以焦点到渐近线的距离为
27、bc
28、a2+b2=b=14×2c=12c,所以c2=a2+b2=a2+14c2,得ca=233.8.(2016山东,文14)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2
29、AB
30、=3
31、BC
32、,则E的离心率是 . 答案2解析由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,设A点的横坐标为c,则由c2a2-y2b2=1,解得y=±b2a.不妨设Ac,b2a,Bc,-b2a,则
33、AB
34、=2b2a,
35、BC
36、=2c,由2
37、AB
38、=3
39、BC
40、,c2=a2+b2得离心率e
41、=2或e=-12(舍去),所以离心率为2.9.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以
42、bc
43、b2+12=3.所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x
