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1、考点规范练37 空间几何体的表面积与体积 考点规范练A册第28页 基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8答案B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=1
2、6+20π,解得r=2.2.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+3B.1+22C.2+3D.22答案C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=2.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=2,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=32,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+3.3.如图,直
3、三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为( )A.22B.1C.2D.3〚导学号74920302〛答案C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以x22+x22=1,即x=2,则AB=AC=1
4、.所以侧面ABB1A1的面积S=2×1=2.4.(2016山东,文5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A.13+23πB.13+23πC.13+26πD.1+26π答案C解析由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为V1=12×43π×223=2π6,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=13×1×1=13,故选C.5.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.32π3B.4πC.2πD.4π3〚导学号74920303〛答案D解析因为该正
5、四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1212+12+(2)2=1,所以V球=4π3×13=4π3.故选D.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛〚导学号74920304〛答案B解析设底
6、面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=14×13·πR2h=112×π×16π2×5.∵π≈3,∴V≈3209(尺3).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是 . 答案32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是12×43=32.8.(2016北京,文11)某四棱
7、柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 . 答案32解析由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=12×(1+2)×1=32,故四棱柱的体积V=S·h=32.9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为 . 答案12π解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的对角线的长为23,所以球的
8、直径是23,半径为3,球的表面积为4π×(3)2=12π.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,
