双参数指数分布顺序统计量的概率分布性质.pdf

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1、第29卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．29．No．52013第5期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY双参数指数分布顺序统计量的概率分布性质水姜培华(安徽工程大学)【摘要】设{X，1≤≤n}独立同分布，X(1]≤f2]≤⋯≤X㈨为其顺序统计量，3"-总体服从双参数指数分布exp(，Or)时，得到了其顺序统计量的联合概率密度函数和极端顺序统计量的密度函数，进一步得到X⋯和㈩的期望与方差的表达式．此外还证明了样本间距(1)，f2]一(1)，⋯，()一1)独立不同分布，利用样本间距构造一组独立同分布的指数分布exp(

2、1)，借助顺序统计量还构造了和F两组概率分布．最后研究了统计量极差R=X㈨一⋯的概率分布．【关键词】顺序统计量；双参数指数分布；样本间距；数学期望；方差．则称服从双参数指数分布，记为～exp(／．~，0引言)，其中∈R，>0为参数．顺序统计量，特别是极端值顺序统计量是概若～exp(／z，)，则其分布函数、期望和方率统计中一类很重要的随机变量，它的分布在随差分别为机过程和应用统计中都有着诸多的应用．对于顺F()=1一exp[一二]，≥／x；序统计量分布性质的研究已有很多，文献[1]和U[2]给出顺序统计量分布的其他证明方法．文献E(X)=／x+；Var(X)=．[3]和[

3、4]分别研究了U[0，1]分布和双参数指引理11-6]设{X，1≤≤n}独立同分数分布的样本区间的概率分布；匡能辉在文献布，具有密度函数_厂()和分布函数F(x)，X⋯，⋯[5—8]中分别研究了拉普拉斯分布、瑞利分布、，，㈤为其顺序统计量，则混合指数分布和双截尾柯西分布顺序统计量的(1)㈤的密度函数为分布性质；姜培华在文献[9]中研究了威布尔分厂()=布顺序统计量的概率分布．双参数指数分布是概率统计中的重要分布，具有广泛的应用价值，常F())()被用于信息网络、生物学、宇宙学和环保等学科(2)(X(X((1≤i<≤n)的联合密度领域．该文考虑：当瓦服从参数为(，or)的

4、双参函数为数指数分布时顺序统计量的概率分布及相关I生质．fij()=×1预备知识及引理[F()][F(Y)一F()~j-i-I[1一F(Y)]1，≤Y．定义1若随机变量X具有密度函数(3)(X(1)，X(2)，⋯，X())的联合密度函数为1P卜／(。，：，⋯，)=n11-Is()，≤X2≤、，收稿日期：2013—09—04国家自然科学基金资助(11226218)；安徽省自然科学基金(1208085QA04)；2012年地方高校国家级大学生创新创业训练计划项目(201210363122)26哈尔滨师范大学自然科学学报2013年第29卷’。。n·(2)X⋯的密度函数为(4)

5、((1)，())的联合密度函数为_厂．(，)，)=n(n一1)[F(Y)一F(x)]一X{~-exp[-号‘-厂(x)f(Y)，≤Y(1)特别地，f1]，㈩的密度函数分别为／()=／／,(1一F())一ly()()=(3)X㈨的密度函数为n(F())一()．旦[1一e一古(×引理2设()和()分别为容量为n的样exp[一=_(一)]，>。；2本的最大和最Jl'JJ~,序统计量，则极差R=X㈨一⋯的分布函数为0，其他．()=Jn[F(Y+)一F(y)]。×证明由引理1及双参数指数分布的密度和分布函数易得上述结论成立．f(Y)dy注：(i)x㈩=rain{，，⋯，}仍然服从

6、其中F(y)与(Y)分别为总体的分布函数和密双参数指数分布且其参数为(，o'／n)．度函数．(ii)X()=max{。，2，⋯，X}不服从双参证明记R=()一X(1)，Y=X(1)，则有数指数分布，但其概率密度可以表示为n个参数X(1)=Y，X()=Y+尺，其雅可比行列式为不同的双参数指数分布密度函数的线性组合．事lI，l=1，利用引理1中结论(4)可得(1，，㈨)的实上，式(2)中密度函数的非零部分为联合密度为_厂．(Y，r)=f(y，Y+r)l_，l=凡(n一I厂()=旦[1一e一1(]exp[一(一．1)[F(Y+r)一F(y)]一2厂(Y)f(Y+r)从而可得的

7、边际密度函数=蓑(_1))[e]-厂(r)=ff，()，，r)dy=f，(n一其中式子[。一k+l(]刚好是参数为(，1)[F(Y+r)一F(Y)]一2厂(Y)f(Y+r)d／(+1))的双参数指数分布的密度函数．由此故有可见，其概率密度可以表示为n个参数为(，()=J(r)dr=IJ+∞n(n一1)[F(y+o-／(+1))(0≤．i}≤n一1)的双参数指数分布J0J0J一∞r)一F(Y)]z厂(y)f(Y+r)dydr：的密度函数的线性组合．定理2设{X，1≤≤凡}独立同分布，且f凡(n一1)／(){f[F(y+r)一F()，)]×服