湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学（原卷版）.docx

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湖南师大附中2021-2022学年度高一第二学期期末考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知，则（）A.B.C.D.2.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.2B.5C.2或5D.或3.若的内角，，所对的边分别为，已知，且，则=（）A.B.C.D.4.过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5.下列说法不正确的是（）A一个人打革时连续射击两次，事件“至少有一次中革”与事件“两次都不中革”互斥B.掷一枚均匀硬币，如果连续抛郑1000次，那么第999次出现正面向上的概率是C.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16D.甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件“甲中靶”，"乙中靶”，则“恰有一人中靶”6.设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线.下列说法正确的是（）①若，，则a或；②若，，则ab；③若，，则；④若，，，则.A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④7.已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（）A.B.或 C.或D.或8.已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，下列说法中正确的是（）A.若复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，为半径的圆上B.若复数z满足，则复数C.若复数，满足，则D.若复数，满足，则10.如图是一个古典概型的样本空间及事件A和事件B，其中，，，，则（）AB.C.事件A与B互斥D.事件A与B相互独立11.已知向量，在向量上的投影向量为，则（）A.B.与方向相同的单位向量为或C.的最小值为0D.的最小值为12.如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，将分别沿SE，SF折起，使两点重合于G，下列说法正确的是（） A.若把沿着EF继续折起，与G恰好重合B.C.四面体的外接球体积为D.点G在面SEF上的射影为△SEF的重心三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.14.投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为__________.15.如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于________.16.锐角的内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，.（1）若//，求证：为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求的面积. 18.在三棱锥P−ABC中，AB=BC，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.（1）证明：PA⊥平面ABC；（2）若D为PC的中点，且，求平面DAB与平面ABC所成二面角的余弦值.19.甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为.（1）求p，q的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.20.如图，在四棱锥P−ABCD中，ADBC，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为.（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；（2）若二面角P−CD−A的大小为，求P到直线CE的距离.21.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.22.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．