双参数指数分布顺序统计量的概率分布性质.pdf

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第29卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．29．No．52013第5期NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY双参数指数分布顺序统计量的概率分布性质水姜培华(安徽工程大学)【摘要】设{X，1≤≤n}独立同分布，X(1]≤f2]≤⋯≤X㈨为其顺序统计量，3"-总体服从双参数指数分布exp(，Or)时，得到了其顺序统计量的联合概率密度函数和极端顺序统计量的密度函数，进一步得到X⋯和㈩的期望与方差的表达式．此外还证明了样本间距(1)，f2]一(1)，⋯，()一1)独立不同分布，利用样本间距构造一组独立同分布的指数分布exp(1)，借助顺序统计量还构造了和F两组概率分布．最后研究了统计量极差R=X㈨一⋯的概率分布．【关键词】顺序统计量；双参数指数分布；样本间距；数学期望；方差．则称服从双参数指数分布，记为～exp(／．~，0引言)，其中∈R，>0为参数．顺序统计量，特别是极端值顺序统计量是概若～exp(／z，)，则其分布函数、期望和方率统计中一类很重要的随机变量，它的分布在随差分别为机过程和应用统计中都有着诸多的应用．对于顺F()=1一exp[一二]，≥／x；序统计量分布性质的研究已有很多，文献[1]和U[2]给出顺序统计量分布的其他证明方法．文献E(X)=／x+；Var(X)=．[3]和[4]分别研究了U[0，1]分布和双参数指引理11-6]设{X，1≤≤n}独立同分数分布的样本区间的概率分布；匡能辉在文献布，具有密度函数_厂()和分布函数F(x)，X⋯，⋯[5—8]中分别研究了拉普拉斯分布、瑞利分布、，，㈤为其顺序统计量，则混合指数分布和双截尾柯西分布顺序统计量的(1)㈤的密度函数为分布性质；姜培华在文献[9]中研究了威布尔分厂()=布顺序统计量的概率分布．双参数指数分布是概率统计中的重要分布，具有广泛的应用价值，常F())()被用于信息网络、生物学、宇宙学和环保等学科(2)(X(X((1≤i<≤n)的联合密度领域．该文考虑：当瓦服从参数为(，or)的双参函数为数指数分布时顺序统计量的概率分布及相关I生质．fij()=×1预备知识及引理[F()][F(Y)一F()~j-i-I[1一F(Y)]1，≤Y．定义1若随机变量X具有密度函数(3)(X(1)，X(2)，⋯，X())的联合密度函数为1P卜／(。，：，⋯，)=n11-Is()，≤X2≤、，收稿日期：2013—09—04国家自然科学基金资助(11226218)；安徽省自然科学基金(1208085QA04)；2012年地方高校国家级大学生创新创业训练计划项目(201210363122) 26哈尔滨师范大学自然科学学报2013年第29卷’。。n·(2)X⋯的密度函数为(4)((1)，())的联合密度函数为_厂．(，)，)=n(n一1)[F(Y)一F(x)]一X{~-exp[-号‘-厂(x)f(Y)，≤Y(1)特别地，f1]，㈩的密度函数分别为／()=／／,(1一F())一ly()()=(3)X㈨的密度函数为n(F())一()．旦[1一e一古(×引理2设()和()分别为容量为n的样exp[一=_(一)]，>。；2本的最大和最Jl'JJ~,序统计量，则极差R=X㈨一⋯的分布函数为0，其他．()=Jn[F(Y+)一F(y)]。×证明由引理1及双参数指数分布的密度和分布函数易得上述结论成立．f(Y)dy注：(i)x㈩=rain{，，⋯，}仍然服从其中F(y)与(Y)分别为总体的分布函数和密双参数指数分布且其参数为(，o'／n)．度函数．(ii)X()=max{。，2，⋯，X}不服从双参证明记R=()一X(1)，Y=X(1)，则有数指数分布，但其概率密度可以表示为n个参数X(1)=Y，X()=Y+尺，其雅可比行列式为不同的双参数指数分布密度函数的线性组合．事lI，l=1，利用引理1中结论(4)可得(1，，㈨)的实上，式(2)中密度函数的非零部分为联合密度为_厂．(Y，r)=f(y，Y+r)l_，l=凡(n一I厂()=旦[1一e一1(]exp[一(一．1)[F(Y+r)一F(y)]一2厂(Y)f(Y+r)从而可得的边际密度函数=蓑(_1))[e]-厂(r)=ff，()，，r)dy=f，(n一其中式子[。一k+l(]刚好是参数为(，1)[F(Y+r)一F(Y)]一2厂(Y)f(Y+r)d／(+1))的双参数指数分布的密度函数．由此故有可见，其概率密度可以表示为n个参数为(，()=J(r)dr=IJ+∞n(n一1)[F(y+o-／(+1))(0≤．i}≤n一1)的双参数指数分布J0J0J一∞r)一F(Y)]z厂(y)f(Y+r)dydr：的密度函数的线性组合．定理2设{X，1≤≤凡}独立同分布，且f凡(n一1)／(){f[F(y+r)一F()，)]×服从参数为(，)的双参数指数分布，／(Y+r)dr}dy：J凡[F(y+)一F(Y)]“一×(1)=rain{1，2，⋯，}，X㈩=max{X，X2，⋯，X}，则／(Y)dy故结论成立．E(X(1))=+(3)2主要结果及证明Var(X(1))=(4)定理1设{，1≤≤凡}独立同分布，且㈩，=+服从参数为(，)的双参数指数分布，⋯，。)㈠X(一，X为其顺序统计量，则(5)(1)(X()，X(2)，())的联合密度函数为Var()～{(-1)f(1，2，⋯，)1)×fn!(=_)exp[一=I毫(一)]，一[(_1))(6)10<1≤2≤⋯≤；证明因(1]服从参数为(，／凡)的双参0，其他．数指数分布，由其期望和方差的表达式易知 第5期双参数指数分布顺序统计量的概率分布性质27=()一(一1)～exp(o'／(几+1一))，故fl】，E(X(1))+詈，Var((1))=n成立．(2)一(1)，⋯，()一()独立不同分布．E(())=J()dx=(2)由定理1知⋯～exp(／z，o'／n)，很容易n-1求得Y1=n(xf1]一)／一exp(1)．由本定理的结论(1)知Z，=X(，)一(r_1)一exp(o-／(n+1～。)(_1)e)}dz=r))，而=(n+1一r)z／，所以可得Yr=(+1一r)Zr／～exp(1)．1)(+)=+n-1定理4设{Xk，1≤j}≤n}独立同分布，且)㈠，．服从参数为(，)的双参数指数分布，⋯，(2)，⋯，()为其顺序统计量，则同理可求得E(2())=(1)统计量W=(∑X㈤一(n—r)(r))，='一、薹(-1)(尼n++垃k+l+(=一(2(n—r))．+(_1)1(1)+(2)统计量寺(㈤一nix+(n—=0＼+1／、十r)X(，))～(2r)(_1)(3)统计量。)．再利用方差的计算公式可知式(6)成立．(n—r)(∑一+(n—r)X㈩)F=——————生———————————————一～定理3设{，1≤≤2}独立同分布，且n服从参数为(，)的双参数指数分布，⋯，r(∑㈤一(n—r)X㈩)X(2)，⋯，X()为其顺序统计量，则F[2r，2(—r)](1)(1)，X(2)～X(1)，⋯，X()一(一1)独立不同分布，且对2≤r≤有()一X()服从参数证明(1)首先分解寺(㈤一+为or／(+1一r)的指数分布exp(o'／n+1～r)．(一r)(r))，事实上有詈(㈤一nix+(n一(2)若』=((1)一)／帆2妻()：(‰【=(+1一r)((r)一X(卜1))／or，2≤r≤凡，则，y2，⋯，独立且同分布于参数一(，))+((，+：)一(，+))+⋯+为1的指数分布exp(1)．证明(1)设Z1=X(1)，Z2=X(2)一(1)，())+(，)⋯Z=X()一X(，～1)，贝01=z1，2=z1+z2，⋯，由定理3中结论(2)知(／1,+1一r)(㈩一=∑，其雅可比行列式Il，l=1，利用定理1)／～exp(1)，利用指数分布、伽玛分布和卡方分布三者的关系可知2(+1一r)(一中结论(1)可知(z，Z：，⋯，Z)的联合概率密(1))／～exp(1／2)=Ga(1，1／2)=(2)，度函数为再由卡方分布的可加性可得(∑X㈤一(n—g(z1，名2，⋯，Zn)=f(zl，1+⋯，∑zi)×ui=r+1r)X)～(2(n—r))成立．1．，I：n!()n。1。一1)⋯。一：(2)分解詈(㈤一+(n—r)(r))可(～n。一n·)(。一z)⋯(。一一)(。一)得，(軎(7)(㈤一+(n—r)㈩)=n((1)一由式(7)可知(Z，Z，⋯，Z)的联合密度函数)+(n一1)(X(2)一X(1))+⋯+(n+2～可以分解为n个指数分布密度函数的乘积，且r)((1)一(2))+(n+1一r)(()一X(1)) 28哈尔滨师范大学自然科学学报2013年第29卷它可用来描述元件或系统的寿命，因此讨论其顺类似本定理结论(1)的证法可得(㈤一nixor序统计量、样本间距、极差的分布及性质对研究+(n—r)X(1)～X2(2r)成立．元件的可靠性有其实际意义．文中借助顺序统计(3)由本定理结论(1)和(2)知统计量量构造的和F分布为讨论参数的估计和假设-(㈤一(n—r)㈩)～(2(n—检验问题奠定了基础．如果对其参数取特殊值，。可以得到指数分布顺序统计量的概率分布性质：r))，=(∑X㈤一nix+(凡一r)㈩)～即当：0时为参数为or的指数分布．U一1参考文献X2(2r)，并且与独立，再利用F分布的生[1]王伟．关于顺序统计量分布的一种证明[J]．长春大学学成过程可知结论成立．报，2002，12(6)：20—21．定理5设{瓦，1≤k≤n}独立同分布，且[2]何朝兵，田彦伟．顺序统计量的分布[J]．成都大学学报：X服从参数为(，or)的双参数指数分布，⋯，自然科学版，2008，27(2)：I16—119．[3]邓字辉．样本区间的概率分布[J]．数学杂志，2004，24(2)，⋯，()为其顺序统计量，记极差R=X()(6)：685—689．一⋯，则R的概率分布函数和密度函数分别为[4]丁祖琴．双参数指数分布总体样本区间的分布[J]．齐齐FR()=(1一e-)～，>0；哈尔大学学报，2007，23(5)：76—78．[5]匡能晖．拉普拉斯分布顺序统计量的分布性质[J]．徐州fR(x)=_二-(1一e一言)一e-寺，>0．师范大学学报：自然科学版，2009，27(3)：34—37．[6]匡能晖．关于两参数瑞利分布顺序统计量的分布性质证明先求分布函数，利用引理2结合[J]．江西师范大学学报：自然科学版，2009，33(6)：648—exp(ix，)的分布和密度函数可得651．FR()：=nrI((1一e一一1+e-—tr))[7]KuangNH．Onpropertiesoforderstatisticsfromthemixedexponentialdistribution[J]．JournalofZhejiangUniverty：軎r，e(1J“旦ore寺d(1一NaturalScience，2011，38(2)：135—139．[8]匡能晖．双截尾的分布顺序统计量的渐近分布[J]．北京e一寺)．>0大学学报：自然科学版，2011，47(3)：385—388．[9]姜培华．关于Weibul1分布顺序统计量的分布性质[J]．安()=F()=((1一e一言)一)：庆师范学院学报：自然科学版，2012，18(1)：47—50．!(1一e一x)一e一言>0．，3结束语双参数指数分布在可靠性理论中应用广泛，DistributionalPropertiesofOrderStatisticsfromTwo——parameterExponentialDistributionJiangPeihua(AnhuiPolytechnicUniversity)Abstract：Let{Xk，1≤≤n}beindependentandidenticallydistributedrandomvariables，X(1)≤(2)≤⋯≤X()betheirorderstatistics．Thejointprobabilitydensityfunctionofitsorderstatisticsandthedensityfunetionsofextremeorderstatisticsarederivedwhenthepopulationfollowedtwo——parameterexponentialdistribution．ThemathematicalexpectationsandvariancesofX(I]andX()arealsoobtained．What’SmoreitprovedthesampleintervalsX(1)，X(2)一(1)⋯X()一X(1)areindependentandnot，，一identicaldistributions．usingthesampleintervalsconstructasetofindependentidenticallydistributedexponentialdistributionwithparameter1，twosetsofprobabilitydistributionXandFareconstructedusingorderstatistics．FinallytheprobabilitydistributionofstatisticrangeR：X()一Xf1)isresearched．Keywords：Orderstatistic；Two—parameterexponentialdistribution；Sampleinterval；Mathematicalexpectation；Variance(责任编辑：黄永辉)