充分统计量_完备统计量_指数分布族.pdf

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1、03充分统计量与完备性(补充)-教学辅导一、【内容提要】1．充分统计量（sufficientstatistic）1）定义5.5.1：设XX,,,X是来自某个总体的样本，总体分布函数为Fx(;)，统12n计量TTXX(,,,)X称为的充分统计量，如果在给定T的取值后，12nXX,,,X的条件与无关.即不包含关于参数的信息12n2）定理5.5.1（因子分解定理FactorizationTheorem）：设总体概率函数为f(;)x，XX,,,X为样本，则TTXX(,,,)X为充分统计量得充分必要条件是：存12n12n在两个函数gt(,)和hXX(,,

2、,)X使得对任意的和任意组观测值12nXX,,,X，有fXX(,,,;)Xg((,,,),)(,,,)TXXXhXXX，12n12n12nn12其中是通过统计量的取值而依赖于样本的.证明：一般性结果的证明超出本课程范围，此处我们将给出离散型随机变量下的证明，此时，fx,,;xPXxXx,;.11nn1n先证必要性.设T使充分统计量,则在Tt下,PXx,,XxTt与无关,11nn记为hx,x或hX,令AtX:TXt,当xAt时有1nTtXxXx,,,11nn故PXx

3、11,,Xxnn;PXx11,,XxTtnn,;PXx11,,XnnxTtPTt;hx1,,xgtn,,其中gt,;PTt,而hXPXx,,XxTt与无关,必要11nn性得证.对充分性,由于PTt;,xxT11,:,nnxxtPX11xXnnx;xxT11,:,nnxxtgthx,,,1xn对任给Xxx,和t,满足XAt,有1n-1-PXx11,,XxTtnnPXx

4、11,,XxTtnn,;PTt;PXx11,,Xxnn;PTt;gthx,,1,xngt,,yyT11,:,nnyythy1ynhx1,,xn,yyT11,:,nnyythy1,yn该分布与无关,这证明了充分性.3）充分性判别法则定理4.1设样本分布密度函数族（连续或离散）为Ffx,:,TTX为统计量.则：T为充分统计量的充分必要条件为：存在关于t的可测函数gt与关于x的非负可测函数hx，使得fxg,T

5、xhx(0.1)对每一与成xX立.注：hx不依赖于.证：只对离散型情况给出证明.这时,fxP,Xx对于TX的值域中任意固定的t,定义集合Atx:.Txt充分性设fx,使因子分解式（1.1）成立.则对任意的xAt,Txt成立,条件概率-2-PXxTXt,PXxTXtPTXtPXxfx,gTxhxPTtfu,gTuhuuAtuAtgthxhx,

6、gthuhuuAtuAt它与参数无关.又若xAt,,则TxtPXxTXt,PXxTXtPTXtP0.PTt也与无关.因此,条件分布fxtfxt与无关,即TX是的充分统计量.必要性设TX是的充分统计量,由充分统计量的定义,PXxTXt与参数无关,它是x的函数,记为hx.于是,对任意固定的t,当xAt时,Txt成立;这时Tx,,PXxPXxTXtPTXtPX

7、xTXtPTXthxgthxgTxhx,式中gtPTXt.因而（1.1）成立.由因子分解定理,若样本的密度函数fx,能分解成两个因子的乘积,其中一个为TX的函数,而另一个仅为x的函数,与参数无关,则TX是的充分统计量.2．完备性1）定义：Fp{(;),x}，设gx()是定义在样本空间上的一个实函数，一般来说，积分（如果存在）E[()]gxgxpxdx()(;)（），因此上述积分（数学期望）可以看作一个变