线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第1章行列式 1.4行列式按行展开.ppt

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1、1.4行列式按行(列)展开首页上页下页返回结束先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，于是，自然地考虑如何把高阶行列式转化为低阶行列式的计算问题.为了解决这个问题，首页上页下页返回结束行和第j列划去后，定义1.9在n阶行列式中，把元素所在的第i记作记的余子式，(i,j)元留下来的n-1阶行列式，叫做叫做的代数余子式.(i,j)元首页上页下页返回结束例如元素的余子式为代数余子式为引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aij外都为零，那么这行列式等于首页上页下页返回结束aij与它

2、的代数余子式的乘积，即证明首页上页下页返回结束这个定理叫行列式按行（列）展开法则.或证明定理1.2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即例1.8计算首页上页下页返回结束解保留a33，把第3行其余元素变为0，例1.8计算首页上页下页返回结束解保留a33，把第3行其余元素变为0，首页上页下页返回结束例1.13证明范德蒙德（Vandermonde）行列式首页上页下页返回结束其中记号“Π”表示全体同类因子的乘积.（1-9）该行列式特点：各列为首项为1的等比数列；证明果：后列公比减去前列公比，所有这类因子的乘积.其结由

3、定理1.2，还可得下述重要推论.首页上页下页返回结束推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或证把行列式D=det(aij)按第j行展开，有首页上页下页返回结束在上式中把ajk换成aik（k=1,…,n），可得←第j行←第i行首页上页下页返回结束当i≠j时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，←第j行←第i行故行列式等于零，即得综合定理1.2及其推论，有关于代数余子式的重要首页上页下页返回结束性质：或类似可得关于列的结论也成立.例1.14设首页上页下页返回结束D的（i,j）元的代数余子式记作Ai

4、j，求.第1行所得的行列式，即解等于用1,1,1,1代替D的首页上页下页返回结束