线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第1章行列式 1.7习题课.ppt

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1、1.7习题课行列式的知识要点行列式的例题选讲首页上页下页返回结束1.7.1行列式的知识要点1、要会计算排列的逆序数.求逆序数的关键：数对逆序的总数.方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，它们之和即为所求排列的逆序数.我们可以从排列的右边(或左边)算起.首页上页下页返回结束2、会用对角线法则计算二阶和三阶行列式.首页上页下页返回结束3、了解n阶行列式的定义.其中t为列标排列的逆序数，n个自然数1,2,…,n所有排列取和.切记：对角线法则仅适用于二阶和三阶行列式.Σ表示对首页上页下页返回结束4、知道行列

2、式的性质，并会利用性质简化行列因子可以提到行列式记号的外面.推论若行列式中有两行(列)完全相同，则此性质1D=DT性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.性质3行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式等于零.用于改变元素位置式的计算.首页上页下页返回结束性质5若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则该行列式可拆成两个行列式之和.性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，列式不变.保值变换主要用于“化0”性质4行列式中如果有两行(列)元素对应成比例，则此行列式等于零.行

3、首页上页下页返回结束对应的代数余子式乘积之和，即5、知道代数余子式的定义及性质，并会利用按（2）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其（1）在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式，的余子式，记作记的代数余子式.叫做元素行（列）展开法则来简化行列式的计算.叫做元素首页上页下页返回结束（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即（3）由行列式某一行（列）的元素与另一行如果线性方程组6、知道克拉默法则，能运用法则解线性方程组．或或首页上页下页返回结束的系数行列式D不等于零，其中Dj（

4、j=1,2,…,n）是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得的n阶行列式.那么，方程组有惟一解首页上页下页返回结束1.7.2行列式的例题选讲例1求排列13…(2n1)(2n)(2n2)…2的逆序数.1、计算排列的逆序数解分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，从排列的右边算起.它们之和即为所求排列的逆序数.我们可以首页上页下页返回结束故此排列的逆序数为显然，2n1、2n3…、3及1前面都没有比它们2前面有2(n-1)个大于2的数；排列13…(2n1)(2n)(2n2)…42.

5、4前面有2(n-2)个大于4的数；2n-2前面有2个大于2n-2的数；……2n的前面没有比2n大的数；大的数.首页上页下页返回结束例2计算解从第2行起，各行均减去第1行，得（1）用化上（下）三角形行列式计算2、计算（证明）行列式其中除主对角线外其余元素都相同首页上页下页返回结束其中首页上页下页返回结束解其中例3计算从第n行起，后行减去前行，得相邻两行对应元素差1首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束例4计算行列式（2）用降阶法计算解这个行列式的特点是各列4个数之和都是10.把第2,3,4行都

6、加到第1行，再提出公因子10.首页上页下页返回结束按第1行展开，降阶首页上页下页返回结束（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止的数字行列式比较适用．首页上页下页返回结束例5证明证明按第1列展开，以建立递推公式，（3）用递推法计算首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束又归纳基础为：于是首页上页下页返回结束注本例是按第1

7、列（或第n+1列、或第1行）展建立了递推公式.示出来，开，把所给n+1阶行列式Dn+1用同型的n阶行列式Dn表递推法是高阶行列式计算中常用的、有效的方法.应用递推法的实质是数学归纳法，因此建立了递推公n=1或n=2时命题成立例如式之后应注意验证归纳的基础．(本例中最后用到).首页上页下页返回结束例6证明证明对阶数n用数学归纳法（4）用数学归纳法首页上页下页返回结束∴当n=1或n=2时，结论成立.假设对阶数小于n的行列式结论成立，要证对于Dn也成立.将Dn按最后一行展开，得首页上页下页返回结束∴当n=1或n=2时，

8、结论成立.假设对阶数小于n的行列式结论成立，要证对于Dn也成立.将Dn按最后一行展开，得首页上页下页返回结束∴当n=1或n=2时，结论成立.假设对阶数小于n的行将Dn按最后一行展开，得积化和差∴对一切自然数结论都成立.列式结论成立，要证对于Dn也成立.首页上页下页返回结束注为了将Dn展开成能用其同型的Dn-1、Dn-2表示，本例必须按第n行（或第n列）展开，而不能按r1未