线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.5 习题课.ppt

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1、3.5习题课首页上页下页返回结束线性方程组的知识要点线性方程组的例题选讲3.5.1线性方程组的知识要点首页上页下页返回结束1、要熟练掌握矩阵的三种初等行（列）变换，它是矩阵的最重要的运算如：之一．特别要熟练掌握用初等行变换将矩阵化成行阶梯形和行最简形，这两种类型矩阵分别有重要的应用.矩阵经过有限次初等行（列）变换化成矩阵称2、要理解矩阵的初等变换与矩阵相乘的关系：使存在可逆阵使由这两个结论，矩阵与行（列）等价，的类似的运算之后，前后两个行列式之间的关系.注意：矩阵经过有限次初等行（列）变换，前后两个矩阵的行（列）等价关系要区别于对行列式所作

2、存在可逆阵记作利用矩阵的初等行变换，可以求首页上页下页返回结束零行的行数就是矩阵的秩.了解矩阵的秩的基本性质，的秩有关的问题中有所应用（见例7）．矩阵经过有限次初等变换后，秩不变.因此，可行阶梯形中非3、理解矩阵的秩的定义，熟练掌握秩的求法.逆矩阵和求解矩阵方程（见例2、例3）．以用初等行变换将矩阵化成行阶梯形，4、理解关于线性方程组的解的基本定理3.3，它在证明一些与矩阵即首页上页下页返回结束元线性方程组无解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是熟练掌握用初等行变换求解齐次和非齐次线性方程组用初等行变换将齐次线

3、性方程组的系数矩阵化成行阶梯形，程组是否有非零解.判断方若有非零解，行变换，的行阶梯形进一步化成行最简形,求出和求出秩将还要熟练地用初等首页上页下页返回结束方程组的通解.的增广矩阵多解.类似的，熟练地用初等行变换将非齐次线性方程化成行阶梯形，求出秩判断方程组无解、解唯一、还是有无穷若有无穷多解，还要熟练地用初等行变换，将增广矩阵的行阶梯形进一步化成行最简形,求出非齐次方程组的通解，这是解线性方程组最基本的方法.首页上页下页返回结束3.5.2线性方程组的例题选讲例1设的行最简形矩阵为解求并求一个可逆阵使且首页上页下页返回结束即对矩阵作初等行变

4、换，当矩阵变成行最简形时，单位阵就变成可逆阵首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束的行最简形矩阵可逆阵由首页上页下页返回结束例2设是3阶单位阵，的逆阵通常有两种方法：解求求一种是利则逆，若且用行列式和伴随阵求得.可（这里省略）另一种是利用矩阵的初等行变换求得.对首页上页下页返回结束变成单位阵当子块子块就变成可逆，说明作初等行变换，时，首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束可逆，且首页上页下页返回结束例3设且求解若又这里可把初等列变换转化成行变换，则可逆，由首页上页下页返回结束又首页上页下页返回结束可逆，且首页上页下页返回结束例4设都是矩

5、阵，证明则证（必要性）则由定理3.2，若从而（充分性）必要条件是有相同的标准形若不妨设的充分首页上页下页返回结束例5设方阵求解首页上页下页返回结束时，当首页上页下页返回结束时，当首页上页下页返回结束例6设并求的一个最高阶非零子式.解求首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束的行阶梯形矩阵有3个非零行，首页上页下页返回结束的行阶梯形矩阵，由非零行的非零首元素占有1，2，3列，所以，可在的前三列中寻找3阶非零子式，如:取前三行、前三列构成的子式：的一个最高阶非零阶子式.就是的最高阶非零阶子式为3阶.且首页上页下页返回结束例7设证明若为证由矩阵性

6、质（8）又则阶方阵，①②由①、②又由矩阵性质（5），得首页上页下页返回结束例8设非齐次线性方程组为何值时，求解多解？方程组的增广矩阵无解；有无穷此方程组有唯一解；并在有无穷多解时，求其通解.首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束（1）当方程组有唯一解；首页上页下页返回结束（3）方程组也无解；方程组有无穷多解.（2）当无解；首页上页下页返回结束令方程组的通解得同解方程组：首页上页下页返回结束例9设证明齐证且为列满秩矩阵，次线性方程组与同解.为列满秩矩阵，的行最简形为又即故方程组与同解.首页上页下页返回结束例10设为证明矩阵方程有解的充分必要

7、条件是证矩阵，是又矩阵，有解故有解首页上页下页返回结束