线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 在3.1中.ppt

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1、在证明定理3.1之前，先介绍初等矩阵的知识．定义3.2对单位阵实施一次初等变换所得到的称为初等矩阵．矩阵三种初等变换对应于三种类型的初等矩阵：（1）互换单位阵的第两行（或第两列),得到初等矩阵，记作即首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束（2）用乘单位阵的第行（或第列）,得到初等矩阵首页上页下页返回结束（3）用乘单位阵行加到第的第行上（或用乘单位阵的第列加到第列上），得到初等矩阵首页上页下页返回结束三种初等矩阵都是可逆的，它们的逆阵是与其同一类型的初等矩阵，即；；．初等矩阵具有下列性质：性质3.1设是一个矩阵，对进行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初

2、等矩对进行一次初等列变换，相当于在的右边乘阶初等矩阵．阵；以相应的首页上页下页返回结束例如，可以验证右端的矩阵相当于直接互换的第两行；首页上页下页返回结束性质3.2方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵使证(充分性)若由于初等矩阵都可逆，所以它们的乘积仍可逆，即可逆．的结果相当于直接互换的第两列．其他两类初等矩阵左乘或右乘也有相应的结果．(必要性)同理，首页上页下页返回结束若为阶可逆矩阵，设的标准形为则即经过有限次初等变换可化成又由性质1知，存在有限个初等矩阵使由于可逆，且初等矩阵都可逆，可逆，即首页上页下页返回结束下面利用初等矩阵的性质证明定理3.1．证明（1）由矩阵行等价的

3、定义，矩阵经过有限次初等行变换变成由性质3.1知，矩阵经过有限次初等行变换变成存在有限个初等矩阵使令由性质3.2知，可逆，故存在阶可逆矩阵使类似地，可证得结论（2）和（3）．