线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.1 矩阵的初等变换.ppt

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1、3.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种重要的运算，求矩阵的逆阵、它在矩阵的秩、论的探讨中都有很重要的应用．解线性方程组以及矩阵理引例用消元法解线性方程组(3-1)首页上页下页返回结束解(3-1)方程组（3-1）其中方程组(3-1)是为了消去方程①，而互换方程①和②的位置.③的首页上页下页返回结束方程组是为了保留方程①的方程②,③的消去首页上页下页返回结束方程组是为了保留方程②的方程③的消去并把②中的系数变为1，此时恰好把方首页上页下页返回结束则说明原方程组无解），此时消元完成．方程组是由

2、两个有效方程组成的阶梯形方程程③变成恒等式说明方程③是多余方程，①、②是方程组的有效方程方程（如果方程③变成矛盾方程组，其中每个台阶的第一个未知数可选作非自首页上页下页返回结束由的未知数，余下的为自由未知数（其取值可以任意），下面用“回代”的方法就能得到方程组的解：方程②得代入方程①，由如果令则方程组的解为得首页上页下页返回结束上述的消元过程是把方程组作为一个整体看待，（3-2）方程组的解也可记作首页上页下页返回结束从一个方程组变到另一个方程组，其中用到了下列三种变换：（1）交换某两个方程的次序

3、（如(3-1)中方程①与②互换位置，记作（2）用非零常数（如(B2)中用乘方程②，记作（3）把某个方程倍加到另一个方程上去(B1)中方程①的2倍加到方程②上去，（如记作乘某个方程首页上页下页返回结束因此，经过这三种变换后的方程组与变换前的方程组同解，称这三种变换是方程组的同解变换，得到的解（3-2）最后就是原方程组（3-1）的全部解．上述三种变换都是可逆的，即首页上页下页返回结束变换实施到与方程组一一对应的增广矩阵上，这便是矩阵的三种初等行变换．在用消元法求解线性方程组的过程中，实际上我们只对方

4、程组的系数和常数项进行了运算，未知数并未参与．因此，我们可以把对方程组所作的三种同解首页上页下页返回结束定义3.1对矩阵进行下列三种变换：（1）互换某两行（2）用非零常数乘某一行的所有元素（用乘（第两行互换，记作第行，记作（3）把某一行的所有元素倍加到另一行对应的元素上去（第行倍加到第行上去，记作称上述三种变换为矩阵的初等行变换．首页上页下页返回结束如果把定义3.1中的“行”换成“列”，记号换成则称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换．如同方程组的三种同解变换一样

5、，矩阵的三种初等变换也都是可逆的，其逆变换仍与其是同一类型的初等变换．首页上页下页返回结束如变换的逆变换仍为变换的逆变换为变换的逆变换如果矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵则称与行等价，记作如果矩阵有限次初等列变换变成经过则称矩阵与列等价，为记作如果矩阵经过有限次初等变换变成首页上页下页返回结束(1)反身性(2)对称性若则(3)传递性若则下面利用初等行变换增广矩阵则称矩阵与等价，记作等价矩阵具有下列性质：化简线性方程组（3-1）的来求解线性方程组．首页上页下页返回结束增广矩阵首页上页下页返回结束矩

6、阵与阶梯形方程组相对应，称为行阶梯形矩阵，其特点是：在矩阵中可画出一条阶梯线，个台阶只含有一个非零行，每元素不为零，阶梯线竖线后面的第一个阶梯线下方的元素都为零．首页上页下页返回结束从增广矩阵化简到矩阵的过程恰好对应于线性方程组的消元过程．由阶梯形方程组通过“回代”的方法得到方程组的解的过程也可以通过继续化简行阶梯形矩阵来完成，即矩阵对应的方程组为首页上页下页返回结束可选作自由未知数，并令得方程组的解：首页上页下页返回结束或（3-2）阶梯形矩阵又称为行最简形矩阵，其特点是：每个非零行的第一个非零

7、元素都是1，且这些1所在的列的其它元素都是0．首页上页下页返回结束所以，可猜想定的．只要把线性方程组的增广矩阵化简为行最简形矩阵，就能得到方程组的解．抛开矩阵的实际意义，仅从数学角度，最简形矩阵再进行初等列变换，如果对行则可将矩阵变成更为简单的形式，如由于行最简形矩阵与线性方程组的解一一对应，任意矩阵的行最简形矩阵一定是唯一确首页上页下页返回结束矩阵称为矩阵的标准形，其特点是：角是一个单位阵，其他元素都为0．一般地，对于任意非零矩阵有限次初等行变换总可以实施把它化为行最简形矩阵，限次初等列变换再

8、实施有把它化成标准形它的左上首页上页下页返回结束行最简形矩阵与标准形矩阵都由唯一确定，三个数标准形是等价矩阵中形式最简单的矩阵，其中单位阵的阶数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它具有如下的性质：定理3.1设为矩阵，则的充分必要条件是存在阶可逆矩阵首页上页下页返回结束的充分必要条件是存在阶可逆矩阵使的充分必要条件是分别存在阶和阶可逆矩阵和使使初等矩阵的知识首页上页下页返回结束推论方阵可逆的充分必要条件是证可逆存在可逆阵使又由定理3.1知，可逆下面利用矩阵的