线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.2 矩阵的秩.ppt

《线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.2 矩阵的秩.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2矩阵的秩首页上页下页返回结束定义3.3设为矩阵，在矩阵中任取行与列位于这些行列交叉处的元素，个按它们在中原来的位置次序所组成的列式，阶行称为矩阵的阶子式．矩阵的阶子式一共有个．首页上页下页返回结束且的所有阶子式（若有的话）都等于0，则称为矩阵的一个最高阶非零子式，并称的阶数为矩阵的秩，记作规定：零矩阵的秩等于0．在定义3.4中，当的所有阶子式都等于0，由行列式按行（或列）展开法则，的所有阶的子式（若有的话）也都等于0，从而的所有高于定义3.4如果在矩阵中有一个阶子式的秩的非零子式的最高阶数．矩阵的秩是矩阵的

2、一个重要属性，它揭示了矩阵的内在特性．显然，若为矩阵，则因为行列式与其转置行列式相等，所以的子式与的子式对应相等，故由矩阵的秩的定义可知，若矩阵中有一个阶阶的子式（若有的话）也都等于0．因此，阶非零子式就是的一个最高阶的非零子式，而矩阵就是首页上页下页返回结束子式不等于0，则若所有等于0，中阶子式都则对于阶方阵因为的阶子式只有一个为当时，即为可逆矩阵，有当时，即为不可逆矩阵，有因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵．首页上页下页返回结束例3.3设求解中有一个2阶子式而的3阶子式只有一个为且首页上页下页

3、返回结束显然，是行阶梯形矩阵，它有三个非零行，的所有4阶子式都等于0．而个非零元素为对角元素的3阶子式中以三个非零行的第一(是上三角形行列式),首页上页下页返回结束由例3.3可见，当矩阵的行数与列数较高时，义求矩阵的秩是比较麻烦的．按定但对于行阶梯形矩阵来说，其秩就等于它的非零行的行数，非常简单．自然想到：能否利用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵来或者说，初等变换是否改变矩阵的秩呢？下面的定理给出了答案．定理3.2若则证明求秩呢？首页上页下页返回结束推论若存在可逆矩阵使则证存在可逆矩阵使定理3.2及推论揭示了等价

4、矩阵的内在联系，矩阵任意都与它的标准形等价，标准形中单位阵阶数的就是矩阵的秩，因此,A的标准形是唯一确定的．首页上页下页返回结束注意:由定理3.2，若求矩阵的秩，等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，只需用初其非零行的行数就是矩阵秩．例3.4设求并求的一个最高阶非零子式．解利用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵：首页上页下页返回结束的行阶梯形矩阵有3个非零行，首页上页下页返回结束零子式是比较麻烦的．令由的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵为由的最高阶非零子式为3阶．的3阶子式一共有可知从中寻找一个非首页上页下页返回结束中必有3阶

5、非零子式.子式共有4个，的3阶从中找一个非零子式比在子式方便．中找非零例如，取的后三行构成的子式这个3阶子式也就是的一个最高阶非零子式．首页上页下页返回结束例3.5设求解包括矩阵作初等行变且换的同时，也作了同样的初等行变换，当变为行阶梯形矩阵时，子块也变为行阶梯形对其中的子块首页上页下页返回结束因此，可同时求出首页上页下页返回结束若把例3.5中的矩阵系数矩阵和常数项矩阵，分别看作线性方程组的则矩阵就是方程首页上页下页返回结束组的增广矩阵．由的行阶梯形矩阵可知而的行阶梯形矩阵的第3行对应于矛盾方程说明该线性方程组无

6、解．自然联想：是否可作为判断线性方程组无解的条件呢？这个问题将在下一节讨论.首页上页下页返回结束例3.6设且求解对作初等行变换，把变为行阶梯形矩阵：首页上页下页返回结束矩阵的秩具有下列的基本性质：首页上页下页返回结束特别地，当为非零列向量时，有（8）若则(3)若则(4)若矩阵可逆，则首页上页下页返回结束同理，于是，设若对换化为列阶梯形矩阵分别作初等列变则中分别有个证性质前面已证过．因为矩阵包括矩阵的最高阶非零子式一定是的非零子式和首页上页下页返回结束中只有又个非零列，个非零列，设首页上页下页返回结束即(6)设为矩

7、阵，对列变换作初等又由性质（5），有首页上页下页返回结束注性质(7)和(8)分别在下一节和下一章给出证明．例3.7证明：若且（称是列满秩矩阵），则证经过初等行变换化为行最简形为存在阶可逆矩阵使首页上页下页返回结束特别地，若例3.7中的为阶方阵，则列满秩矩阵就是满秩矩阵，从而可逆．显然，结论成立．若例3.7中的矩阵则结论：若且是列满秩（或满秩）则通常,称这一结论为矩阵乘法矩阵，的消去律．首页上页下页返回结束