线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第3章 线性方程组 3.3 解线性方程组.ppt

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1、3.3解线性方程组首页上页下页返回结束本节将利用矩阵的初等行变换和矩阵的秩，一般线性方程组解的存在性、讨论解的唯一性以及解的一般求法．设含有个未知数个方程的线性方程组首页上页下页返回结束若令其中称为系数矩阵，称为未知数向量，称为常数项向量，为增广矩阵，称则由矩阵的乘法运算，方程组（3-3）（3-3）首页上页下页返回结束方程（3-4）的解称为方程组（3-3）的解向量．线性方程组（3-3）的形式不同而已，今后不加区别地混同使用，为线性方程组，并都称其解与解向量也不加区别．若线性方程组（3-3）有解，则称其相容，否则，称其不相容．与向量方程（3-4）只

2、是表达可表示成以向量为未知元的向量方程（3-4）首页上页下页返回结束定理3.3元线性方程组(1)无解的充分必要条件是(2)有唯一解的充分必要条件是(3)有无穷多解的充分必要条件是那么，如何判定线性方程组是否有解（即是否相容）以及有解时是否解唯一？下面的定理给出答案．首页上页下页返回结束证(先证充分性)设为叙述方便，不妨设增广矩阵经初等行变换化成行最简形为首页上页下页返回结束无解．(2)若则系数矩阵列满秩矩阵，从而中所有不出现，（或不出现），即(1)若则中的从而中的第行对应矛盾方程因此，线性方程组是首页上页下页返回结束对应的方程组就是的唯一解．首页

3、上页下页返回结束(3)若则首页上页下页返回结束令自由未知数程组（3-5），由同解方得线性方程组带有个参（3-5）非自由未知数，对应的方程组为中的（或不出现），这时可取为首页上页下页返回结束数的解:它又可表示为：首页上页下页返回结束（3-6）因为参数为任意常数，所以解（3-6）表示线性方程组（3-4）的任一解，称它为线性方程组（3-4）的通解，故线性方程组有无穷多解．首页上页下页返回结束(再证必要性)用反证法若线性方程组无解，假设结论不成立，则由(2)、(3)的充分性，线性方程组知有解，与线性方程组相矛盾，无解故结论成立．类似地，可证(2)、(3)

4、的必要性．事实上，在定理3.3的证明过程中组的一般解法，已给出线性方程现归纳如下：首页上页下页返回结束阵的初等行变换将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，从中求得和(2)若则方程组无解；(3)若程组有唯一解；(4)若则方程组有无穷多解．这时需将形矩阵进一步化简为行最简形矩阵，的行阶梯并把行最简形矩个非零行的非零首元素个未知数选作对于元非齐次线性方程组(1)先利用矩阵中则方对应的首页上页下页返回结束得到方程组含有个参数的通解．特别地，对于元齐次线性方程组显然，它有解（零解）．(1)先将系数矩阵化成行阶梯形矩阵，若则方程组只有零解（即解唯一）；(2)若则方程组

5、零解有非（即有无穷多解），这时需将的行阶梯形矩阵非自由未知数，其余个未知数为自由未知数，并令自由未知数分别为任意常数从而首页上页下页返回结束进一步化简成行最简形矩阵，类似于方程组的情形(4)的解法，得到方程组含有个参数的通解．例3.8求解齐次线性方程组解利用矩阵的初等行变换,先将系数矩阵化首页上页下页返回结束成行阶梯形矩阵：方程组有非零解，再将行阶梯首页上页下页返回结束形矩阵进一步化简成行最简形矩阵：同解的方程组令自由未知数方程组的通解首页上页下页返回结束或表示为：首页上页下页返回结束例3.9求解非齐次线性方程组解利用初等行变换先将增广矩阵化成行

6、阶梯形矩阵：首页上页下页返回结束方程组无解．例3.10求解非齐次线性方程组首页上页下页返回结束方程组有无穷多解，再将解利用初等行变换先将增广矩阵化成行阶梯形矩阵：首页上页下页返回结束同解的方程组令自由未知数方程组的通解的行阶梯形矩阵进一步化简成行最简形矩阵：首页上页下页返回结束或表示为：首页上页下页返回结束求为何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解．解法1利用矩阵的初等行变换,先将增广矩阵化成行阶梯形矩阵：例3.11设非齐次线性方程组首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束（1）当时，即有故方程组

7、有唯一解；（2）当时，有方程组无解；首页上页下页返回结束（3）当时，有方程组有无穷多解．将的行阶梯形矩阵进一步化成行最简形矩阵：首页上页下页返回结束同解的方程组令方程组的通解首页上页下页返回结束解法2（1）系数矩阵为方阵，的克拉默法则知，由第1章方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式首页上页下页返回结束方程组无解；（2）当时，有当时，方程组有唯一解；首页上页下页返回结束（3）当时，有方程组有无穷多个解．首页上页下页返回结束同解的方程组将的行阶梯形矩阵进一步化成行最简形矩阵：令方程组的通解首页上页下页返回结束对含有参数的矩阵作初等变换，如例3.1

8、1中的矩阵由于等因式可以等于0，故不宜作诸如这样的变换．如果作了这样的变换，则需对的情形另作讨论．注意:以上两种解法相比较，解法1较麻烦