线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第4章 向量组的线性相关性 4.4 线性方程组的解的结构.ppt

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1、4.4线性方程组的解的结构首页上页下页返回结束在第3章我们已经介绍了利用矩阵的初等行变换和矩阵的秩求解线性方程组．这一节我们在此基础上，利用向量组的线性相关性理论，进一步讨论线性方程组的解的结构．先讨论齐次线性方程组．首页上页下页返回结束设齐次线性方程组令(4-4)则方程组（4-4）可表示成向量方程（4-5）若是方程组（4-4）的解，则它们构成的向量称为方程组（4-4）的解向量，它也称为（4-5）的解．首页上页下页返回结束下面，我们利用向量方程（4-5）讨论线性方程组（4-4）的解向量的性质：性质1若是（4-5）的解，则也是

2、（4-5）的解．证只需验证满足方程（4-5）：首页上页下页返回结束性质2若是（4-5）的解，为实数，则也是（4-5）的解．证设方程（4-5）的全体解组成的集合为如果能求得解集的一个最大无关组（4-5）的任一解都可由这个最大无关组则方程线性表示；反之，由性质1，2可知，这个最大无关组性组合的任何线首页上页下页返回结束都是方程（4-5）的解，因此（*）式表示方程（4-5）的通解．（*）齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系．由上述讨论可知，要求齐次线性方程组的通解，可先求出它的基础解系．首页上页下页返回结

3、束在第3章我们利用矩阵的初等行变换求齐次线性方程组的通解，下面用同样的方法求齐次线性方程组的基础解系．设方程组（4-4）的系数矩阵的秩为且不妨设的前个列向量线性无关，则的行最简形矩阵为首页上页下页返回结束对应于得方程组（4-4）的同解方程组（4-6）首页上页下页返回结束令自由未知数依次等于程组（4-4）的通解得方首页上页下页返回结束上式可记作可见，方程组（4-4）的解集中的任一解向量可由都线性表示，且又因为矩阵中有一个阶子式所以故线性无关．由最大无关组的等价定义，知是解集的一个最大无关组，即首页上页下页返回结束是方程组（4-

4、4）的基础解系．在上面的解法中，我们是先求出方程组（4-4）的通解，再从通解中求出它的基础解系．事实上，我们也可以先求出方程组（4-4）的基础解系，再写出它的通解．由方程组（4-4）的同解方程组（4-6）首页上页下页返回结束由方程组（4-6），非自由未知数依次可得下列组数令自由未知数依次取下列组数首页上页下页返回结束两者合起来，便得方程组（4-4）的基础解系首页上页下页返回结束由所求的基础解系，定理4.7设元齐次线性方程组若系数矩阵的秩则该方程组的解集的秩当时，方程组（4-4）只有零解，即解集只含一个零向量，没有基础解系；当

5、时，由定理4.7可知，方程组（4-4）的基础解系含个解向量．又由最大无关组的性质可知，方程组（4-4）便可得首页上页下页返回结束的任何个线性无关的解向量都可作为它的基础解系．因此，齐次线性方程组的基础解系并不唯一，它的通解的形式也不唯一．例4.12求齐次线性方程组的基础解系与通解．首页上页下页返回结束解对系数矩阵作初等行变换，将它变为行最简形矩阵：首页上页下页返回结束得同解方程组（*）首页上页下页返回结束（*）令对应有从而得方程组的基础解系首页上页下页返回结束通解为即首页上页下页返回结束注意：本题的解法是由同解方程组（*）再

6、写出通解．我们也可以按第3章的解法，由同解方程组（*）先写出通解，再求出基础解系，这两种解法没有什么本质上的差别．先求出基础解系，首页上页下页返回结束若取对应有则可得不同的基础解系：由同解方程组首页上页下页返回结束从而得不同形式的通解显然，两个不同的基础解系与是等价的，分别得到的通解虽然形式不同，但都可表示方程组的任一解．首页上页下页返回结束在上述解法中，总要先把系数矩阵化为行最简形矩阵，所以总是作为非自由未知数，程会出现一些分数的运算，有时化简过求解过程并不简单．事实上，对于解方程组来说，也可以作为自由未知数，这时，对系数

7、矩阵作初等行变换，可先把的某一列（不一定是第一列）化为如本题的系数矩阵的第4列首页上页下页返回结束数值较简单，可先把它化为再把后一个矩阵的第3列化为首页上页下页返回结束矩阵虽然不是的行最简形矩阵，形矩阵同样的效果．但它具有行最简由这个矩阵可选取未知数，为自由得同解方程组令得方程组的通解为首页上页下页返回结束其中对应的基础解系为首页上页下页返回结束定理4.7是求解线性方程组的理论基础，它在讨论矩阵的秩上的应用．下面介绍在3.2中，我们给出了矩阵的性质（8）：若则下面利用定理4.7给予证明.证令则即首页上页下页返回结束可见，矩阵

8、的个列向量都是齐次方程组的解．设齐次方程组的解集为则从而有即又由定理4.7知，所以即首页上页下页返回结束若元齐次线性方程组与同解，则这是因为这两个方程组有相同的解集由定理4.7，从而根据上述结论，当矩阵与的列数相等时，证要只需证明齐次方程组与同解．有首页上页下页返回结束例4.13证明证显然