线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第4章 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩.ppt

《线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第4章 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、4.3向量组的秩首页上页下页返回结束前面我们已经利用矩阵的秩，组的线性组合及线性相关性．讨论了有限的向量为了进一步研究向量组，并把关于有限的向量组的一些重要结论推广到无限的向量组上去，下面在向量组中引入最大无关组和秩的概念．定义4.5设向量组若在中有一个含向量的部分组个线性无关，且中任意个向量（如果有的话）都线性相关，则称部分组是向量组的一个最大线性无关组（简称最大无关组），所含向量个数称为向量组的秩，记作特别地，只含零向量的向量组，因为没有最大无关组，规定它的秩为0．首页上页下页返回结束例4.8设为全体维向量组成的向量组，求的一个最大无关组及的秩．解是无限的向

2、量组，由例4.4知，中个单位坐标向量组成的向量组线性无关，又由定理4.5（2）中任意都线性相关，个向量向量组是的一个最大无关组，的秩等于显然，中任意个线性无关的向量都是.首页上页下页返回结束的最大无关组.因此，向量组的最大无关组一般不唯一．对于有限的向量组它可构成矩阵式和矩阵的秩的定义，利用第3章矩阵的最高阶非零子可证得向量组的秩就等于矩阵的秩，即有定理4.6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，等于它的行向量组的秩．也首页上页下页返回结束证设阶子式且的由定理4.4所在的列线性无关；又中所有阶子式全为零，中任意个列向量都线性相关，所在的列是的列向量组的一个最大无关组，于

3、的列向量组的秩等转置矩阵的列向量就是矩阵的行向量，由首页上页下页返回结束上面的证明知，的秩等于的列向量组的秩，也就是的行向量组的秩；又所以的秩等于的行向量组的秩．今后，有限的向量组的秩之前的定理4.1～4.4中矩阵的秩也都可以理解为向量组的秩．由定理4.6的证明可知，若是矩阵高阶非零子式，的一个最则所在的列是的列向量组的也记作首页上页下页返回结束一个最大无关组，所在的行是一个最大无关组．的行向量组的例4.9设矩阵求矩阵的列向量组的一个最大无关组，最大无关组的列向量用这个最大无关组线性表示．并把不属于首页上页下页返回结束解对进行初等行变换，把变成行阶梯形矩阵：矩阵

4、的列向量组的最大无关组应含有3个列向量．又行的非零首元素在第1，2，4列上，的行阶梯形矩阵的三个非零且首页上页下页返回结束向量组线性无关，故是量组的一个最大无关组．的列向为了把余下的向量用最大无关组线性表示，需将的行阶梯形矩阵进一步化简为行最简形矩阵首页上页下页返回结束由于方程组与同解，所以向量之间的线性关系与向量之间的线性关系相同．首页上页下页返回结束首页上页下页返回结束例4.10利用定义4.5求向量组的最大无关组，要判断向量组的任意个向量都线性相关，有时不太方便，下面将给出最大无关组的等价定义．我们先讨论向量组与它的最大无关组的等价关系．由于组是组的一部分，

5、所以组一定可由组线性表示；反之，对于的任一向量组由最大无关组的定义知，个向量首页上页下页返回结束线性相关，而线性无关，定理4.5（3）知，可由线性表示，即组可由组线性表示．因此，组与它的最大无关等价．这一结论的逆命题也成立，由组即有最大无关组的等价定义设组：是组的一个部分组，若组线性无关，且任一向量都能由组中的组线性表示（即组与组等价）首页上页下页返回结束则组是组的一个最大无关组．证只需证组中的任意个向量线性相关．设是组中的任意个向量，由于组中的任一向量都能由组线性表示，所以这个向量也能由组线性表示，由定理4.3，由定理4.4可知，这个向量线性相关．有首页上页下

6、页返回结束利用最大无关组的等价定义，求向量组的最大无关组有时很方便．例4.11设齐次线性方程组的全体解向量组成的向量组为求的秩．解为求解方程组，需将系数矩阵化成行最简形：首页上页下页返回结束得同解的方程组：首页上页下页返回结束令自由未知数得方程组的通解为记则全体解向量组首页上页下页返回结束即中的任一解向量可由向量组线性表示．又对应分量不成比例，知向量组线性无关．由最大无关组的等价定义知，是的一个最大无关组，故秩定理4.1～4.3限制向量组只含有限个向量，这一限制完全可以去掉．下面将这三个定理由向量组为有限的情形推广到首页上页下页返回结束成的向量组无限的情形，其中

7、过渡的桥梁就是向量组的最大无关组．向量能由向量组线性表示的充分必要条件是其中是由向量组与向量组成的向量组．向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是其中是由向量组向量组与组成的向量组．首页上页下页返回结束向量组与向量组等价的充分必要条件是其中是由向量组与向量组组成的向量组．若向量组能由向量组线性表示，则证明以后，与定理4.1不加区别，都称为定理4.1，与定理4.2和4.3也不加区别．首页上页下页返回结束