线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.7正定矩阵.ppt

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1、5.7正定二次型首页上页下页返回结束是有以下定理.二次型的标准形显然不是唯一的，中所含项数是确定的（即是二次型的秩）.不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），只是标准形也就首页上页下页返回结束有两个可逆变换定理5.11设有二次型f=xTAx，它的秩为r，使的个数相等．及x=Cy及x=Pz则k1,k2,…,kr中正数的个数与中正数这个定理称为惯性定理.首页上页下页返回结束二次型的标准形中正系数的个数正惯性指数，科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n或负惯性指数为n的n元二次型，定义5.11设有二次型f(x)=xTAx，

2、任何x≠0,都有f(x)>0（显然f(0)=0），何x≠0，都有f(x)<0，f为正定二次型，对称阵A是负定的.称为二次型的负系数的个数称为负惯性指数.我们有下述定义.则称并称对称阵A是正定的；如果对任则称f为负定二次型，并称如果对例如是正定二次型，首页上页下页返回结束不是正定的.而事实上，下面给出正定二次型的判别条件：定理5.12n元二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正，惯性指数等于n.即它的正首页上页下页返回结束再证必要性.则故证设可逆变换x=Cy使先证充分性.设ki>0（i=1,2,…,n）.（第s个分量为1，其余分量都为0的n维

3、单位坐标向量）时，显然矛盾．这与f为正定相任给x≠0，用反证法.则当y=es这就证明了ki>0（i=1,2,…,n）.假设有ks≤0，推论对称阵A为正定的充分必要条件是：首页上页下页返回结束特征值全为正．定理5.13对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即A的为什么？首页上页下页返回结束对称阵A为负定的充分必要条件是：式为负，这个定理称为赫尔维茨定理.A的奇数阶主子而偶数阶主子式为正，即例5.16判别二次型首页上页下页返回结束的正定性.解f的矩阵为根据定理5.13知f为负定.