线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.8应用举例.ppt

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1、5.8应用举例首页上页下页返回结束矩阵相似对角化的应用二次型理论的应用5.8.1矩阵相似对角化的应用首页上页下页返回结束如果有A=PΛP-1（其中Λ为对角矩阵），较大的n值我们也能快速地计算An，很多应用中的一个基本思想.则对于这是线性代数首页上页下页返回结束物的基因型为AA，Aa，aa，农场计划采用AA型植物例5.17（基因问题）农场的植物园中，某种植双亲体基因型与其后代基因型的概率（见下表），与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，已知父体-母体基因型AA-AAAA-AaAA-aa后代基因型AA11/20Aa01/21aa000

2、首页上页下页返回结束问：经过若干年后三种基因型分布如何？解用分别代表第n代植物中，基因型为AA，Aa和aa的植物占植物总数的百分率，令为第n代植物基因型分布，表示植物基因型的初始分布，显然有由已知表得关系式：其中首页上页下页返回结束即首页上页下页返回结束得A的特征值由这样，递推得到求得对应特征值的线性无关的特征向量分别为下面，我们利用对角化计算故首页上页下页返回结束可见，当首页上页下页返回结束时，通过本问题的讨论，可以对许多植物(动物)遗即在足够长的时间后，培育出的植物基本上呈现AA型.传分布有一个具体的了解，同时这个结果也验证了生物

3、学中的一个重要结论：显性基因多次遗传后占主导因素，这也是之所以称它为显性的原因.5.8.2二次型理论的应用首页上页下页返回结束二次型的一个重要的应用就在于研究二次曲线和二次曲面的分类.何知道，二次方程由解析几这里以二次曲面为例.首页上页下页返回结束叉项消去，即变成标准形；到二次曲面的标准方程.注意到在一般的可逆线性变换之下，要改变，量不变的性质，解析几何的要求.通过下例加以说明.向量的长度但正交变换却具有保持向量长度及夹角等度因此，正交变换是直角变换，它符合一般来说表示空间二次曲面.型，要判断该二次曲面的类需要用直角坐标变换将其中三元

4、二次型部分的交再通过坐标平移，即可得例5.18作直角坐标变换，把二次曲面方程首页上页下页返回结束化成标准方程，并指出它是什么曲面..成平方和的形式.设解首先把二次曲面的二次项部分用正交变换化该二次型的矩阵是（5-11）首页上页下页返回结束求出A的特征值其相应的特征向量互相正交，将它们单位化得不难求得首页上页下页返回结束取正交矩阵作正交变换（5-12）首页上页下页返回结束把二次型f化成下述标准形因此作直角坐标变换（5-12），也就是把代入二次曲面方程（5-11），整理得将新方程的左端配方得首页上页下页返回结束作坐标系的平移得到在直角坐标

5、系下的方程（5-13）上式是二次曲面（5-11）的标准方程，面（5-11）是椭圆抛物面.所以二次曲首页上页下页返回结束把式（5-13）代入式（5-12）就得到化方程（5-11）为标准方程的直角坐标变换公式如下：