线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.5二次型.ppt

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1、5.5二次型及其标准形首页上页下页返回结束中有着广泛的应用.二次型就是二次齐次多项式，析几何中化二次曲线与二次曲面的方程为标准形式，它在线性系统理论、概率统计和工程技术等诸多领域例如，为了便于研究二次曲线它的理论起源于解首页上页下页返回结束的几何性质，（5-6）式的左边是一个二次齐次多项式，（5-6）学的观点看，换化简一个二次齐次多项式，把方程化为标准形这类问题一般化，讨论n元二次齐次多项式化简问题.我们可以选择适当的坐标旋转变换从代数化标准形的过程就是通过变量的线性变使它只含有平方项.把首页上页下页返回结束定义5.9含有n个变量x1,x2,…,xn的

2、二次齐次函数称为二次型.当为实数时，f称为实二次型；当为复数时，f称为复二次型.（5-7）下面给出二次型的矩阵表示:首页上页下页返回结束取于是则首页上页下页返回结束取则于是记作A记作x则二次型可记作（5-8）对称阵首页上页下页返回结束例如，二次型的二次型.用矩阵表示二次型与对称阵之间存在一一对应的关系.对称阵A叫做二次型f的矩阵，f也叫做对称阵A对称阵A的秩就叫做二次型f的秩.首页上页下页返回结束对于二次型，我们讨论的主要问题是：的线性变换使二次型（5-7）只含平方项，即（5-9）记，寻求可逆则上述可逆线性变换可记作首页上页下页返回结束这种只含平方项的

3、二次型，它的矩阵形式为称为二次型的标准形，对角阵首页上页下页返回结束这是因为BT=(CTAC)T则f=yTBy是一个变量为y1,y2,…,yn的二次型，f=xTAxn元二次型（5-8）经可逆线性变换变成二次型的秩不变.记作B=CTAT(CT)T即B为对称矩阵，又因所以yTBy也是一个二次型.B=CTAC，质，=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y且=CTAC=B，而C可逆，从而CT也可逆，由矩阵秩的性即知R(A)=R(B).首页上页下页返回结束定义5.10设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，就是要使使B=CTAC，要使二次型f经可逆变换变成标准形，

4、也就是要使CTAC为对角阵.f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y因此，我们的主要问题就是：对角阵.则称矩阵A与B合同.这对于对称阵A，寻求可逆矩阵C，使CTAC为这个问题称为把对称阵A合同对角化.首页上页下页返回结束总有正交变换x=Py，使f化为标准形定理5.10任给二次型由上节定理5.9知，把此结论应用于二次型，即有其中是f的矩阵的特征值.任给对称阵A，总有正交阵P，使首页上页下页返回结束例5.13求一个正交变换x=Py，把二次型化为标准形，并指出方程f=1表示何种二次曲面.解二次型的矩阵为按例5.12的结果，有正交阵首页上页下页返

5、回结束把二次型f化成标准形使于是有正交变换而方程表示的二次曲面为旋转单叶双曲面.