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《线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.9习题课.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.9习题课相似矩阵及二次型的知识要点例题选讲首页上页下页返回结束5.9.1相似矩阵及二次型的知识要点1、了解向量的内积、长度、正交、规范正交基、正交矩阵等概念，知道施密特正交化方法.(1)定义5.1设有n维向量首页上页下页返回结束(2)定义5.2称为向量x与y的内积.=xTy称为n维向量x的长度（或范数）.当时，(3)当[x,y]=0，正交向量组一定线性无关.是指一组两两正交的非零向量.(4)正交向量组，称x为单位向量.称向量x与y正交.首页上页下页返回结束设向量组A:a1,…,ar线性无关，令(5)定义5.4设n维向量e1,e2,…,er是向量空交，间V（）的一个基，(6)施
2、密特正交化过程如果e1,e2,…,er两两正且都是单位向量，则称它是V的一个规范正交基.首页上页下页返回结束则向量组b1,…,br为正交向量组，且与向量组A等价.(7)定义5.5若n阶矩阵A满足则称A为正交矩阵.（即）,A为正交矩阵A的列（行）向量都是单位向量，且两两正交.首页上页下页返回结束2.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解其性质，并掌握其求法.(8)定义5.6若P为正交矩阵，y=Px称为正交变换.列向量x使(1)定义5.7设A是n阶矩阵，则称数λ为矩阵A的特征值，Ax=λx,x称为A的对应于特征值λ的特征向量.则线性变换若有数λ和非零首页上页下页返回结束①求出A的特征
3、方程的全部根，②对于A的每一个特征值，的一个基础解系它们即是A的对应于的一组线性无关的特征向量，该方程的全体非零解就是A的对应于的全部特征向(2)特征值、特征向量的求法为A的所有特征值；（不全为0）.即量，即求出齐次方程首页上页下页返回结束设n阶方阵的特征值为①②(3)特征值、特征向量的一些性质设λ是方阵A的特征值，则是λ的多项式）.是的特征值（其中③④是的特征值；首页上页下页返回结束角化的充要条件.3.了解相似矩阵的概念和性质，知道矩阵可对⑤当A可逆时，是的特征值；是的特征值.p1,p2,…,pm线性无关.值，⑥设是方阵A的m个互不相等特征p1,p2,…,pm依次是与之对应的特
4、征向量，则首页上页下页返回结束(2)相似矩阵的一些性质P，使(1)定义5.8设A,B都是n阶矩阵，则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似.①若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，相似,②若n阶矩阵A与对角阵若有可逆阵从而有相同的特征值.则是A的n个特征值.首页上页下页返回结束(3)方阵A可对角化的条件③若有可逆阵P，使为对角阵，则①n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.设矩阵A有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn，P=(p1,p2,…,pn)，则对应的特征值分别为，令首页上页下页返回结束4.了解对称阵的特征值与特
5、征向量的性质，掌握利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.②若n阶矩阵A的n个特征值互不相等，角阵相似．(1)对称矩阵的特征值为实数.(2)对称矩阵的对应不同特征值的特征向量正交.(3)设A为n阶对称阵，则必有正交矩阵P，使则A与对首页上页下页返回结束(4)对称阵A对角化的步骤：它们的重数依次为的基础解系，②对每个重特征值，①求出A的全部互不相等的特征值，正交化、单位化，再把它们③把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有这样的对角化既是相似，又是合同求方程得个线性无关的特征向量.得个两两正交的单位特征向量.首页上页下页返回结束5.熟悉二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩.掌握用
6、正交变换把二次型化为标准形的方法.(1)含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数称为二次型.取则上列二次型的矩阵形式为对称阵A叫做二次型f的矩阵，A的秩就叫做二次型f的秩.首页上页下页返回结束使(2)二次型讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换=yT(CTAC)y这种只含平方项的二次型，(3)设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使B=CTAC，要使二次型f经可逆变换变成标准形,当于使CTAC即A合同于对角阵.称为二次型的标准形.则称矩阵A与B合同.相首页上页下页返回结束6.会用拉格朗日配方法化二次型为标准形.7.了解惯性定理，知道二次型的正定性及其判别法.总有正交变换x=Py，
7、使f化为标准形其中是对称阵A的n个特征值.(4)定理5.10任给二次型此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换.首页上页下页返回结束有两个可逆变换(1)惯性定理设有二次型f=xTAx，它的秩为r，使的个数相等．及x=Cy及x=Pz则k1,k2,…,kr中正数的个数与中正数二次型的标准形中正系数的个数正惯性指数，称为二次型的负系数的个数称为负惯性指数.首页上页下页返回结束称f为负定二次型，称阵A是正定的；(2)定义5.11设有二次型f(x)=xTAx，如果对任何x≠0,都有f(x)>
