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《线性代数 教学课件 作者 侯亚君 1_第5章相似矩阵与二次型 5.3相似矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.3相似矩阵首页上页下页返回结束底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力引例社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作.到2000年的1/5和4/5，记成向量首页上页下页返回结束全部劳动力的百分比分别为xn和yn，记成向量设n年后从农工作和从事非农工作人员占业情况的发展趋势．（1）求与的关系式，并写出矩阵形式；（2）求，并预测经过多年之后该地劳动力从解（1）由题意得首页上页下页返回结束用矩阵表示为此矩阵记成A首页上页下页返回结束（2）由上式知若有可逆矩阵P，使为对角阵，则研究矩阵的相似对角化的
2、问题的原因之一.而Λn容易计算，求An就是解决问题的关键n个于是就可方便地计算An，这是我们首页上页下页返回结束使定义5.8设A,B都是n阶矩阵，若有可逆阵P，则称B是A的相似矩阵，称为把A变成B的相似变换矩阵.或称矩阵A与B相似.对A进进行运算称为对A进行相似变换，可逆矩阵P如与相似.首页上页下页返回结束定理5.5若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多证因A与B相似，项式相同，从而A与B的特征值也相同.故即有可逆阵P，使这表明A与B有相同特征值首页上页下页返回结束相似,则是A的n个特征值.推论若n阶矩阵A与对角阵证∵即是Λ的n个特征值，∴由定理5.5知也就是A的n个特征值.为什么
3、？首页上页下页返回结束其中不难证明：若有可逆阵P，使为对角相似对角化一应用计算矩阵多项式阵，则首页上页下页返回结束定理5.6n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.下面我们要讨论的主要问题是：对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使为对角阵，这就称为把矩阵A对角化.证必要性.设有可逆阵P，使为对角阵，记P=(p1,p2,…,pn)，首页上页下页返回结束Pi≠0吗？A(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)pi是矩阵A的对应于特征值λi的特征向量，∵P是可逆矩阵p1,p2,…,pn线性无关.首页上页下页返回结束充分性.设矩阵A有n个线
4、性无关的特征向量p1,p2,…,pn，P=(p1,p2,…,pn)，∵p1,p2,…,pn线性无关，记AP=A(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)P可逆吗？∴P可逆对应的特征值分别为，首页上页下页返回结束推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则注若A的特征方程有重根时，A与对角阵相似．由定理5.4和5.6得．性无关的特征向量，例如在例5.6中3阶矩阵A的特征方程有重根，不到3个线性无关的特征向量，例5.7中3阶矩阵A的特征方程也有重根，找而在线性无关的特征向量，为什么？从而A不一定能对角化.就不一定有n个线故A不能对角化；但能找到3个因此A能对角化.令首页上页下页返
5、回结束.则例5.10设问x为何值时，矩阵A能对角化？解而首页上页下页返回结束.得恰有1个，对应单根，故矩阵A可对角化对应重根，有2个线性无关的特征向量方程有2个线性无关的解可得因此，当x=1时，矩阵A能对角化.可求得线性无关的特征向量首页上页下页返回结束解为求An，.据定理5.6的推论，A能对角化.得例5.11继续求解本节引例.对应由需将A相似对角化.由首页上页下页返回结束得一基础解系.对应由得一基础解系并有再求出于是首页上页下页返回结束.因此可见最终该地当时，从农和非农人员约各占全部劳动力的6%和94%.
